Аналитическое решение контактной задачи Герца и численная реализация. Примеры

Рассмотреть деформации и напряжения в области соприкосновения двух шаров, прижатых друг к другу силами P. Возьмем две точки и на поверхностях шаров, находящиеся на расстоянии от оси z, проходящей через центры шаров (рис. 81, a). Расстояние между этими точками до деформации равно: Где Под действием нагрузки P шары сплющатся в месте соприкосновения, образовав плоскость контакта в форме круга радиусом a, и центры их сблизятся на величину .

а) б)

Рис. 81

Если , то точки и совместятся, получим (а)

где и - вертикальные проекции перемещений точек и . Считая шары приближенно за упругие полупространства, можно найти вертикальные проекции перемещений по формуле (9.9): где p(r) – давление на расстоянии r от оси z, при котором s – расстояние от точки , где определяется прогиб, до точки приложения нагрузки (рис. 81, б). Составив сумму вертикальных проекций перемещений (а), получим интегральное уравнение или

Решив это уравнение, Герц нашел, что где

Сближение центров шаров Наибольшее сжимающее напряжение – в центре площадки контакта (r=0): здесь материал работает в условиях всестороннего сжатия. Наибольшее растягивающее напряжение – на контуре площади контакта и при и составляет