Формы записи линеаризованных уравнений звеньев. Передаточные функции
В ТАУ приняты следующие формы записи линеаризованных дифференциальных уравнений звеньев. 1. Операторный (символический) способ записи. - Операцию дифференцирования по времени обозначают . - Выходную величину и ее производные оставляют слева. - Коэффициент при приращении выходной величины делают равным единице (делением всех членов уравнения на ). - Вводят постоянные времени , . - Вводят коэффициенты передачи , . - Опускают в уравнении символ .
Уравнение (3.7) в этом случае будет иметь вид (3.8) В установившемся состоянии, когда и из уравнения (3.8) получаем уравнение статики данного звена и соответствующую линейную статическую характеристику звена. Коэффициент показывает отношение выходной величины к входной в установившемся режиме, его размерность определяется отношением размерности к размерности . 2. Форма записи с помощью передаточной функции. Введем обозначения: , . Многочлен называют собственным оператором звена, многочлен - входным оператором. Название “собственный оператор” обусловлено тем, что многочлен характеризует собственное движение звена, т.е. его движение при отсутствии внешних возмущающих и управляющих воздействий. Уравнение звена теперь можно представить в форме , . (3.9) Вводится формальное определение передаточной функции звена, описываемого линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами: . (3.10) Символическая запись уравнения (3.8) будет иметь вид: , здесь . Не следует путать символ дифференцирования с комплексной переменной (или ), имеющей место в преобразовании Лапласа (). В отличие от преобразования Лапласа, операторный способ, сокращая запись дифференциальных уравнений, не дает способа для их решения. Более строго определение передаточной функции вводится на базе преобразования Лапласа: , . Пусть даны начальные условия , , . Тогда , , . Применив это преобразование к дифференциальному уравнению звена (3.8), получим . Из этого алгебраического выражения найдем изображение выходной величины , где через обозначен многочлен, включающий в себя все члены с величинами начальных условий. Передаточной функцией звена называется отношение изображений Лапласа выходной и входной величин при нулевых начальных условиях и равных нулю остальных воздействий на звено, т.е. , (3.11) Сравнивая полученное выражение (3.11) с дифференциальным уравнением звена (3.8), видим, что формально передаточную функцию звена можно составлять как отношение операторных многочленов правой и левой частей уравнения звена, сделав замену оператора на оператор . Это следует из того, что дифференцированию оригинала – символическому умножению оригинала на , при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения переменной на комплексное число . Сходство между передаточными функциями в операторной форме и в форме изображения Лапласа чисто внешнее, и оно имеет место только в случае стационарных звеньев (и систем). В общем случае, степень многочлена , как правило, ниже степени многочлена . Характеристическое уравнение звена имеет вид , так что корни характеристического уравнения звена являются полюсами его передаточной функции. Понятием передаточной функции удобно пользоваться при анализе структурных схем САУ.
№12
|