Колебательное, консервативное и апериодическое второго порядка звенья
Звено, которое можно описать уравнением , () или в другой форме , где , , (3.29) или передаточной функцией , (3.30) называют колебательным, если ; консервативным, если (), и апериодическим звеном второго порядка, если . Коэффициент называют коэффициентом демпфирования (параметром затухания, коэффициентом колебательности), величину называют угловой частотой свободных колебаний (при отсутствии затухания), ‑ постоянная времени. Колебательное звено ()
Условие означает, что корни характеристического уравнения комплексные . Примерами колебательных звеньев являются колебательные - цепи, управляемые двигатели постоянного тока при выполнении условия , упругие механические передачи, гироскопические элементы. Уравнение установившегося режима звена (уравнение статики) . Переходная функция колебательного звена является решением дифференциального уравнения (3.29) при . Покажем это: Преобразуем исходное уравнение по Лапласу , начальные условия: , , . Найдем , отсюда , , , , . Теперь изображение переходной функции . (3.31) Для определения оригиналов второго и третьего слагаемых изображения приведем их к форме, представляемой в таблице оригиналов. Преобразуем второе слагаемое: . Введем обозначения: - коэффициент затухания переходного процесса, (3.32) - частота затухающих колебаний. (3.32) Теперь второе слагаемое примет вид: . По таблице изображений по Лапласу определим оригиналы , . Третье слагаемое в (3.31) преобразуем к виду: . С учетом обозначений (3.32) третье слагаемое примет вид: . Оригинал этого выражения . Окончательно, переходная функция колебательного звена (3.33) Весовая функция колебательного звена , (3.34) На рис. 3.8 приведена переходная функция колебательного звена.
Рис. 3.8. Переходная функция колебательного звена По переходной характеристике можно определить параметры колебательного звена следующим образом. Коэффициент передачи определяют по установившемуся значению переходной функции . , Из отношения найдем . Частота затухающих колебаний , где - период затухающих колебаний. Коэффициент демпфирования звена может быть найден из выражения , а постоянная времени звена из выражения . (3.35) (Из выражений (3.32) имеем и , , откуда и следует (3.35)). По переходной характеристике можно определить величину перерегулирования . (3.36) Можно показать, что перерегулирование зависит только от коэффициента колебательности и не зависит от постоянной времени : (3.37) (Берется производная , приравнивается нулю; полагая , определяется время и подставляется в (3.33), находится ; учитывая, что , определяется ).
Частотные характеристики звена Выражение АФЧХ получается при подстановке в передаточную функцию звена : . (3.38) АЧХ: (3.39) Умножив числитель и знаменатель (3.38) на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции , . ФЧХ: изменяется монотонно от 0 до () и выражается формулой
(при функция меняет знак на плюс) Рис. 3.9. Частотные характеристики колебательного звена (значения параметров: )
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика звена . (3.40) Частотные характеристики звена представлены на рис. 3.9. АЧХ имеет резонансный пик при .
|