Построение областей устойчивости САУ. D-разбиение плоскости 1-го и 2-го порядков

 

При исследовании устойчивости большое практическое значение имеет построение областей устойчивости в плоскости одного или каких-либо двух параметров.

Уравнение границ областей устойчивости можно находить, пользуясь любым критерием устойчивости. Чаще всего на практике применяют метод D-разбиения.

Понятие о D-разбиении

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы -го порядка:

(). (4.27)

Представим себе -мерное пространство коэффициентов уравнения (4.27), которые откладываются по координатным осям. Каждой точке пространства коэффициентов соответствуют конкретные численные значения коэффициентов уравнения (4.27). Это уравнение имеет корней, расположение которых на комплексной плоскости корней зависит от численных значений коэффициентов .

Если изменять коэффициенты уравнения (4.27), то его корни в силу их непрерывной зависимости от коэффициентов будут перемещаться в комплексной плоскости корней, описывая корневые годографы.

При некотором значении коэффициентов корни характеристического уравнения попадают на мнимую ось плоскости , а в пространстве коэффициентов имеем поверхность , а на ней точку с координатами (, , …, ). При пересечении такой поверхности корни переходят из одной полуплоскости корней в другую. Следовательно, поверхность разделяет пространство коэффициентов на области, каждой точке которых соответствует определенное одинаковое число правых и левых корней. Разбиение пространства коэффициентов на области с одинаковым числом правых корней внутри каждой области и выделение среди полученных областей области устойчивости называют методом D-разбиения.

Поскольку переход через границу D-разбиения в пространстве коэффициентов соответствует переходу корней характеристического уравнения через мнимую ось, то уравнение границы D-разбиения может быть получено из характеристического уравнения системы заменой .

Границу D-разбиения можно строить и в пространстве параметров системы (постоянных времени, коэффициентов передач и т.д.), от которых зависят коэффициенты характеристического уравнения - .

D-разбиение по одному (комплексному) параметру

Пусть требуется выяснить влияние на устойчивость параметра , линейно входящего в характеристическое уравнение

.

Подстановка дает

. (4.28)

Будем временно считать изменяемый параметр комплексной величиной ( с чертой).

Давая значения от до можно по (4.28) вычислить и и построить на комплексной плоскости границу D-разбиения.

Если в плоскости корней двигаться по мнимой оси при изменении от до и штриховать ее слева, то такому движению в плоскости соответствует движение по границе D-разбиения, которую также штрихуют слева по обходу при изменении от до (рис. 4.11).

 

 

Рис. 4.11. D-разбиение плоскости

одного параметра

Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка и которая поэтому соответствует области с наибольшим числом левых корней. Чтобы установить, является ли эта область действительно областью устойчивости, задаются значением из этой области, подставляют его в характеристическое уравнение и по любому критерию устойчивости поверяют все ли корни уравнения – левые. Если не все корни будут левыми, то области устойчивости нет, т.е. изменением только параметра нельзя сделать систему устойчивой.

Точки пересечения годографа с вещественной осью определяют границы устойчивости (параметр - вещественный). По рисунку 4.11 можно определить, сколько корней характеристического уравнения системы лежит справа от мнимой оси плоскости корней . Если граница получена пересечением двух кривых (как, например, точка ), то за ней () будет , т.е. пара комплексных корней с положительной вещественной частью. Если же на границе ось пересекается одной кривой (точка ), то за ней () будет один положительный вещественный корень (). Следовательно, граница устойчивости - колебательная, а граница апериодическая.

Пример. Пусть дано характеристическое уравнение системы

.

Уравнение разрешим относительно параметра

.

Подставим , тогда

,

где , .

В плоскости и (рис. 4.12) строим область D-разбиения параметра .

 

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

 

Рис. 4.12. D-разбиение плоскости параметра

Кривую границы области штрихуем слева при движении от к .

При положительном областью устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка, т.е. .

Проверка устойчивости системы по критерию Гурвица подтверждает это условие.

D-разбиение по двум параметрам.

 

Для построения области устойчивости на плоскости двух каких-либо параметров К и Т после подстановки в характеристическое уравнение получаем

(4.29)

или

(4.30)

откуда , . (Параметры K и T входят линейно в ).

Условие (4.29) соответствует колебательной границе устойчивости, когда кривая Михайлова проходит через начало координат.

Подставляя в полученные выражения (4.30) значения от до , строим по точкам кривые на плоскости (K,T). Для выделения границ устойчивости вводится штриховка кривых по следующему правилу. Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения частоты , штрихуем ее с левой стороны, если будет п оложительным определитель (якобиан), составленный из частотных производных

(4.31)

Если определитель будет отрицательным, то штриховка кривой производится справа.

Если при кривая пробегается дважды, то и штриховка на нее наносится дважды. Такие кривые соответствуют колебательной границе устойчивости. Значениям и соответствуют особые кривые (чаще всего прямые), вдоль которых сохраняет постоянное значение (0 или ). Штриховка их (однократная) согласуется с предыдущей. Без доказательства применяют правило: штриховка направлена внутрь области устойчивости, если параметр K отложен по оси абсцисс вправо, а параметр T – по оси ординат вверх.

Пример. Пусть задана структурная схема следящей системы с передаточной функцией

Характеристическое уравнение замкнутой системы

,

или

После подстановки получим уравнения, определяющие колебательную границу устойчивости

,

(4.32)

Построим область устойчивости системы на плоскости параметров К и .

Из уравнений (4.32) находим (при )

, . (4.33)

При изменении строим кривую D - разбиения (гипербола) (рис. 4.13); при снова проходим по этой же кривой. Для нанесения штриховки составим определитель

.

Для отрицательных частот определитель положителен, поэтому кривую штрихуем слева, для положительных частот , поэтому наносим штриховку справа от кривой. Штриховки накладываются друг на друга.

Кроме этой гиперболы получаем две особые прямые:

при и при (из уравнений (4.33)).

Так как и должны быть положительны, область устойчивости системы ограничивается осями и , и гиперболой.

w	К	Ту
	1/Тм	¥
± 1	1/Тм +Тм	1/Тм
± 10	1/Тм+100 ×Тм	1/100× Тм
± ¥	¥

Рис. 4.13. D-разбиение