Функции денежной единицы в финансовых расчетов инвестиций и недвижимости(накопление и т.п.)

В практических финансовых операциях суммы денег вне зависимости от их назначения или происхождения так или иначе,но обязательно связываются с конкретными моментами или периодами времени. Фактор времени, особен­но в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже большую роль, чем размеры денежных сумм Необходимость учета фактора времени вытекает из сущности финансирования и кредитования и выражается в прин­ципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Оп­ределенная сумма денег сегодня не равноценна такой же сумме через не­сколько лет, поскольку имеющиеся сегодня деньги теоретически могут быть инвестированы и принесут доход в будущем. Полученные деньги могут быть снова реинвестированы и т.д. Таким образом, сегодняшние деньги ценнее завтрашних, а завтрашние - менее ценны, чем современные. Приведение бу­дущих сумм к текущему моменту времени является одной из основных задач финансовой математики - обратной задаче наращения процентов (доходов). Формальное решение задачи приведения будущих денег к текущему моменту представляет собой математическое дисконтирование.

Дисконтирование отражает уменьшение полезности в будущем по сравнению с доходами в настоящем - «деньги дешевеют во вре­мени». В буквальном смысле в финансовой практике термин «дисконт» (англ. Discount - учет векселей, скидка) означает учетный процент, взимаемый бан­ком при учете векселей или других обязательств.

Другим базовым понятием инвестиционного анализа является сложный, или кумулятивный процент. Он предполагает, что процент начисляется как на первоначальную сумму вложении, так и на начисленные, но невыплаченные проценты. Начисленные, но невыплаченные проценты присоединяются к ос­новной сумме (увеличивают базу начисления процентов) и в следующий пе­риод, наряду с первоначальной суммой вложений, сами приносят новый про­цент. С точки зрения математики рост по сложным процентам представляет собой процесс, следующий геометрической прогрессии.

Поскольку расчеты с использованием сложного процента носят чисто механический характер, а также вследствие того, что структура инвестицион­ных доходов может иметь разную конфигурацию, для удобства расчета функ­ции, построенные на формулах сложных процентов, табулированы, т.е. пред­ставлены в виде таблиц, которые называются «Шесть функций денежной еди­ницы».

1-я функция: накопленная сумма денежной единицы (будущая стоимость единицы)

Базовые формулы:

а) при начислении процентов один раз в год:

FV = PV(1+i)ⁿ; (2.1)

б) при более частом, чем один раз в год, начислении процентов:

FV=PV(1+i/k)^nk (2.2)

где п - число лет;

(1+i)ⁿ - фактор накопленной суммы (будущей стоимости) денежной единицы при ежегодном начислении процентов;

(1+i/k)^nk - фактор накопленной суммы (будущей стоимости) денеж­ной единицы при более частом, чем один раз в год, начислении процентов; FV - накопленная сумма денежной единицы; PV - текущая стоимость денежной единицы. Данная функция используется в том случае, если известна текущая (се­годняшняя) стоимость денег, и требуется определить ее накопленную сумму (будущую стоимость) на конец определенного периода при заданной страхов­ке дохода на капитал.

Пример Определить, какая сумма будет накоплена на счете к концу второго года, если сегодня положить на счет, приносящий 14% годовых, 1000 у.е. Начисле­ние процента осуществляется в конце каждого года.

PV = 1000 долл.;

i = 14%; п = 2.

FV =?

FV = 1000*1,2996 = 1299,6 долл. (2 года, 14%)

2-я функция: текущая стоимость единицы (реверсии)

Базовые формулы:

а) при начислении процентов один раз в год:

(2.3)

где - фактор текущей стоимости единицы (реверсии) при ежегодном начислении процентов;

б) при более частом, чем один раз в год, начислении процентов:

(2.4)

где фактор текущей стоимости единицы при более частом, чем один раз в год, начислении процентов;

Смысл задач такого класса состоит в том, чтобы при заданной ставке дисконта дать оценку текущей стоимости тех денег, которые могут быть полу­чены (заплачены) в конце определенного периода.

Эта функция обратная функции накопленной суммы денежной единицы.

Пример Определить текущую стоимость 1000 долл., которые будут получены в конце года при 10%-й ставке дисконта. Начисление процента осуществляется в конце года.

FV = 1000 долл.;

i = 10%; п= 1.

PV =?

PV = 1000* 0.909091 = 909.09 долл. (1 год, 10%)

3-я функция: текущая стоимость аннуитета

Аннуитет - это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени. Принято различать обыч­ный и авансовый аннуитеты. В том случае, если платежи (поступления) про­водятся в конце каждого периода, говорят об обычном аннуитете. Если же платежи (поступления) осуществляются авансом, т. е. в начале каждого пе­риода, говорят об авансовом аннуитете.

Базовые формулы:

а) при платежах (поступлениях) в конце каждого года:

(2.5)

где R - равновеликие периодические платежи (поступления);

фактор текущей стоимости обычного аннуитета при платежах (поступлениях) в конце каждого года;

б) при более частых, чем один раз в год, платежах (поступлениях):

где фактор текущей стоимости обычного аннуитета при более частых, чем один раз в год, платежах (поступлениях);

Расчет текущей стоимости авансового аннуитета.

Базовые формулы:

а) при платежах (поступлениях) в начале каждого года:

PV=R[—Mi>—+1]; (2.7)

б) при более частых, чем один раз в год, платежах (поступлениях):

PV=R[^±p^ ₊ i]. (2.8)

ilk

Фактор текущей стоимости п авансовых платежей = (фактору текущей стоимости обычного аннуитета для (п-1)-го платежа) + 1.

Пример Договор аренды квартиры составлен на один год. Определить текущую стоимость арендных платежей при 11% -ой ставке дисконтирования.

Вариант А. Арендная плата в размере 6000 долл. Выплачивается в кон­це года.

R=6 000 долл.; i=11% п=1

PV-?

PV=6 000 '0.9009=5405.4 долл. (1 год, 11 %).

4-я функция: накопление денежной единицы за период

На основе использования данной функции определяется будущая стои­мость серии равновеликих платежей (поступлений).

Аналогично условиям, рассмотренным в предыдущей функции, платежи (поступления) могут осуществляться как в конце, так и в начале периода:

а) при платежах (поступлениях), осуществляемых один раз в конце года:

(2.9)

где - фактор накопления денежной единицы за период при платежах (поступлениях), осуществляемых 1 раз в конце года;

б) при платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем один раз в год:

(2.10)

где - фактор накопления vденежной единицы за период при платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем один раз в год. Расчет будущей стоимости авансового аннуитета.

Базовая формула:

а) при платежах (поступлениях), осуществляемых один раз в начале года:

, (2.11)

где фактор накопления денежной единицы за период при платежах (поступлениях), осуществляемых один раз в начале года;

б) при авансовых платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем один раз в год:

(2.12.)

где - фактор накопления денежной единицы за период при авансовых платежах (поступлениях), осущест­вляемых чаще, чем один раз год. Фактор накопления единицы за период для n авансовых платежей = (фактору накопления единицы за период для (n+1)-го платежа) -1.

Пример Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 12% годовых, к концу шестого месяца, если ежемесячно откладывать на счет 1000 долл. Платежи осуществляются в конце каждого месяца.

R=1 000 долл.; i=12% n=0,5 k=12

FV-?

FV=1 000*6.152015=6152.02 долл.

5-я функция: взнос на амортизацию единицы

Базовые формулы:

а) при платежах (поступлениях), осуществляемых один раз в год:

(2.13)

где - фактор взноса на амортизацию единицы при платежах (поступлениях), осуществляемых один раз в год; б) при платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем один раз в год:

(2.14)

где - фактор взноса на амортизацию единицы при платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем один раз в год.

Данная функция используется для определения аннуитетных (регуляр­ных равновеликих) платежей в счет погашения кредита, выданного на опреде­ленный период при заданной ставке по кредиту.

Функция взноса на амортизацию единицы обратна функции текущей стоимости обычного аннуитета.

Пример Кредит в размере 10 000 у.е. выдан на 5 лет под 15 %годовых, погаше­ние ежегодное. Выплаты по кредиту осуществляются в конце каждого года. Определить размер аннуитетных платежей. PV=10 000y.e.i=15%

п=5

R=?

R=10 000*0.298316=2983.16 (5 лет, 15%)

6-я функция: формирование фонда возмещения

Базовые формулы

а) при платежах (поступлениях), осуществляемых один раз в год:

(2.15.)

где - фактор фонда возмещения при платежах (поступлениях), осуществляемых один раз в год;

б) при платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем один раз в год:

(2.16)

- фактор фонда возмещения при платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем один раз в год.

Данная функция используется для определения тех равномерных пе­риодических платежей, которые необходимо осуществлять в течение заданно­го периода, чтобы к концу срока иметь на счете, приносящем доход по задан­ной ставке, определенную сумму денег.

Рассмотренная функция обратная функции накопления единицы за пе­риод.

Пример Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу восьмого года иметь на счете, приносящем 14% годовых, 10 000 у.е.

FV=10 000y.e. i=14% n=8

R=?

R=10 000*0,07557=755,70 у.е. (8 лет, 14%).

Шесть функций можно разделить на две группы: три прямые функции и три обратные. Для удобства применения шести функций представим логику их построения и условные обозначения (табл. 2.5),

Базовой для построения всех функций является формула накопления текущей стоимости в будущую.

Под современной (текущей) стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. В практике оценки недвижимости и инвестиционного анализа вместо термина «современная» или «текущая стоимость» часто употребляют термин капитализированная стоимость.

Таблица 2.5

Шесть функций денежной единицы

Прямая функция	Обратная функция
Будущая накопленная стоимость денежной единицы (множитель решения): q=(1+i)n	Текущая стоимость денежной единицы (дисконтный множитель):
Текущая стоимость обычного единичного аннуитета:	Взнос на амортизацию денежной единицы:
Накопление денежной единицы за период (будущая сумма обычного единичного аннуитета):	Фактор фонда возмещения (коэффициент возмещения капитала):

Дисконтированные члены потока платежей образуют ряд единиц, сле­дующих в геометрической прогрессии, знаменателем которой является коэф­фициент дисконтирования.

Для прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель - дисконт­ный множитель, сумма находится по формуле A(n;i). Обратная формула AR(n;i) может быть использована для расчёта величины одного платежа, по­ступление которого в конце каждого временного периода обеспечит возмеще­ние первоначальной суммы.

Аналогичным образом (через сумму геометрической прогрессии) выво­дятся формулы S(n; i) и SR(n; i).

В практике инвестиционного и финансового анализа часто встречаются случаи, когда члены денежных потоков (поступления) изменяются во времени - увеличиваются или уменьшаются. Особенно это характерно для российских условий, потому что составляющие потока доходов имеют тенденцию к изменению, в основном к повышению: рост ставок арендной платы, коммунальных расходов, зарплаты и др. Рост этих показателей сложно прогнозировать из-за высокой степени неопределённости, однако не учитывать этого роста в расчё­тах нельзя, иначе результаты расчётов будут недостоверны. В связи с этим возникает задача расчёта текущей или наращенной суммы изменяющегося потока доходов - переменного аннуитета.