Студопедия — Робастные методы расчета на­строек
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Робастные методы расчета на­строек






 

Методы робастного оценивания – те методы, которые позволяют получать достаточно надежные оценки статистической совокупности с учетом неясности закона ее распределения и наличия существенных отклонений в значениях данных.

Методы оценивания, учитывающие наличие «грубых ошибок» и позволяющие при этом достаточно точно определять оценки параметров, называются робастными или устойчивыми. Таковыми являются методы Хубера, Винзора, Пуанкаре и ряд других методов.

Пусть совокупность вместе с «обычными» значениями элементов содержит «грубые ошибки». При этом основная масса элементов является реализацией случайной величины, закон распределения которой известен с точностью до некоторого параметра. Вероятность появления этих элементов в совокупности равна

1-ε, где ε — вероятность появления другой случайной величины — η, определяющей грубые ошибки. Однако это условие является условным.

Например, известно, что средняя арифметическая оценка является несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой математического ожидания, однако её эффективность падает с увеличением числа наблюдений, значительно удалённых от среднего значения.

Лаплас и Гаусс выявили преимущества и недостатки средней абсолютной ошибки

,

а также средней квадратической ошибки

,

где ;

- i-е значение случайной величины;

- среднее значение случайной величины.

При наличии серии наблюдений

 

,

 

средняя абсолютная и средняя квадратическая ошибки определяют разные характеристики распределения ошибок. Отношение их предельных значений для нормального распределения ошибок:

.

Еще в начале XIX века Ф. Бессаль отметил, что в большинстве случаев реальные распределения имеют «утяжелённые хвосты» (наблюдения, значительно удалённые от среднего значения), по сравнению с табличным нормальным распределением. В ХХ в. утяжеление хвоста реальных распределений отмечено во многих наборах статистической информации. Д. Тьюки предложил свою модель для оценки характеристик распределения с утяжеленными относительно нормальной совокупности хвостами. В ней предусматривается наличие нормальной совокупности с математическим ожиданием μ;, дисперсией , которая засоряется другой нормальной совокупностью с этим же математическим ожиданием и с дисперсией .

Распределение Тьюки имеет вид:

,

где

.

Часто для сравнения средней абсолютной ошибки со средней квадратической ошибкой используется асимптотическая характеристика

,

где e(ε) – относительная асимптотическая эффективность по отношению к .

Если засорения нет, то для определения требуется на 12% меньше наблюдений, чем для определения . Однако уже при малом засорении преимущество быстро падает. Наоборот, с ростом засорения относительная эффективность быстро растёт. При засорении, равном 0,18%, e(0,18)=1.

Итак, легко убедиться в том, что процедуры, предусмотренные теорией нормальных ошибок, не устойчивы к «грубым» ошибкам. Более устойчивыми оказываются процедуры, связанные с определением средней абсолютной ошибки . Известен целый ряд методов исключения резко выделяющихся наблюдений.

Наиболее доступным и распространенным является анализ измерений с точки зрения экономической сущности полученных наблюдений. Для выявления резко выделяющихся наблюдений имеется ряд критериев, которые являются несмещенными, инвариантными по отношению к преобразованиям совокупности и требуют добавления константы или умножения каждого члена совокупности на положительное число.

Пуанкаре предложил для расчета средней по усеченной совокупности (урезанной средней) формулу:

,

где - число грубых ошибок.

- целая часть от произведения .

- объем выборочной совокупности за исключением ошибочных данных.

- некоторая функция засорения выборки (значения смотрятся по таблице — приложение Г).

По Винзору средняя определяется также с заранее известным по формуле:

,

 

Помимо средних величин по винзорированным данным могут быть найдены и другие показатели.

Помимо рассмотренных методов оценки широкое применение имеет классический подход Хубера. При это используется некоторая величина К, определяемая с учетом степени засорения статистической совокупности и определяющая шаг модификации резко отличающихся наблюдений.

Оценка средней величины по Хуберу:

,

где - Устойчивая оценка, определяется при помощи итеративных процедур;

- величина, которая допускается в качестве отклонения от центра совокупности, принимает постоянные значения с учетом удельного веса грубых ошибок в совокупности данных ;

-Численность группы наблюдений из совокупности, отличающихся наименьшими значениями: , или значения в интервале ();

- Численность группы наблюдений из совокупности, отличающихся наибольшими значениями: , или значения в интервале ();

При расчетах по приведенной выше формуле в качестве начальной оценки может применяться обычная средняя арифметическая или медиана, оцененная по выборке. Затем на каждой итерации производится разделение выборочной совокупности на три части. В одну часть попадают «истинные» признаковые значения, которые остаются без изменения (). В две другие части совокупности (для и ) попадают «ошибки», они не исключаются из рассмотрения, а заменяются соответственно на величины и . По «истинным» и модифицированным данным каждый раз определяется новая оценка средней и итерация возобновляется. Итерации повторяются до тех пор, пока все наблюдения не оказываются в интервале «истинных» значений:

Оценка , найденная по методу Хубера, представляется достаточно эффективной, но быстро теряет оптимальные свойства с увеличением засорения выборки (ростом ).

 

77 Нелинейные системы. Общая характеристика нелинейных АСР. Типовые нелинейные модели. Уравнения нелинейных систем. – Козлицкий

 







Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 762. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Растягивание костей и хрящей. Данные способы применимы в случае закрытых зон роста. Врачи-хирурги выяснили...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия