Прямые методы решения СЛАУ. Методы прогонки

Одной из самых распространённых задач вычислительной математики является решение систем линейных алгебраических уравнений и ряда связанных с ним вопросов, таких как вычисление определителей, обращение матриц, отыскание их собственных значений. Этот круг вопросов называется задачами линейной алгебры. Система из n - линейных алгебраических уравнений с n - неизвестными имеет вид

Методы решения систем уравнений:

делятся на точные (прямые) и приближенные (итерационные). Прямые методы позволяют в предположении отсутствия ошибок округления получить точное решение задачи за конечное число арифметических действий. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Метод прогонки. Применяется для решения систем уравнений с трехдиагональной (ленточной) матрицей. Такая система уравнений записывается в виде:

, (2.6)

.

Является частным случаем метода Гаусса и состоит из прямого и обратного хода. Прямой ход состоит в исключении элементов матрицы системы (2.6), лежащих ниже главной диагонали. В каждом уравнении останется не более двух неизвестных и формулу обратного хода можно записать в следующем виде:

, (2.7)

Уменьшим в формуле (2.7) индекс на единицу: и подставим в (2.6):

Выразим :

(2.8)

Сравнивая (2.7) и (2.8), получим:

(2.9)

Поскольку , то

, (2.10)

Теперь по формулам (2.9) и (2.10) можно вычислить прогоночные коэффициенты и (). Это прямой ход прогонки. Зная прогоночные коэффициенты, по формулам (2.7), можно вычислить все () (обратный ход прогонки). Поскольку , то и . Далее вычисляем , ,..., , .

Пример 2.3. Решить систему уравнений методом прогонки:

 

Решение. Коэффициенты записываем в виде таблицы 2.1.

 

Прямой ход прогонки. По формулам (2.9) и (2.10) определяем прогоночные коэффициенты и ().

, т.к.

Обратный ход прогонки. По формулам (2.7) вычисляем все (). Поскольку , то .

Далее вычисляем:

Вычисляем невязки ()