Статистические показатели динамики

В основе расчета показателей рядов динамики лежит сравнение его уровней. Возможны два способа сопоставления показателей динамики: каждого последующего с предыдущим (исчисление цепных показателей) или значение каждого показателя сравниваются с начальным уровнем ряда (исчисление базисных показателей) или вычисление показателей на переменной и постоянной базах сравнения.

2.1. Абсолютные показатели

1) Цепной абсолютный прирост определяется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, который ему предшествует :

Абсолютный прирост с переменной базой (цепной абсолютный прирост) иначе называют скоростью роста.

2) Базисный абсолютный прирост – это разность между сравниваемым уровнем и уровнем, принятым за постоянную базу сравнения :

Абсолютный прирост может иметь и отрицательный знак, показывающий, насколько уровень изучаемого периода ниже базисного или уровня предыдущего периода.

Между базисными и абсолютными приростами существует связь: сумма цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту последнего ряда динамики : .

Ускорение – это разность между абсолютными цепными приростами за данный и предыдущий периоды равной длительности:

Показатель абсолютного ускорения применяется только в цепном варианте, но не в базисном. Отрицательная величина ускорения говорит о замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда.

2.2.Относительные показатели.

Коэффициент роста определяется как отношение двух сравниваемых уровней и показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень базисного периода.

1) При сравнении с постоянной базой (начальным уровнем) коэффициенты роста базисные исчисляется по формуле: .

2) При сравнении с переменной базой коэффициенты роста цепные исчисляются делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень : .

Если коэффициенты роста выражают в процентах, то их называют темпами роста:

базисные темпы роста: и цепные темпы роста: .

Между базисными и цепными коэффициентами роста имеется взаимосвязь:

1) произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста.

Например. Если , , , то , или .

2) частное от деления последующего базисного коэффициента роста на предыдущий равно соответствующему цепному коэффициенту роста.

Например. Если , , то или .

Коэффициенты прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах.

Темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения.

Этот показатель может быть рассчитан двумя способами:

1) как отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения:

– темп прироста базисный;

– темп прироста цепной.

2) Как разность между темпом роста (в процентах) и 100%:

Важным статистическим показателем динамики социально – экономических процессов является темп наращивания, который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание во времени экономического потенциала.

Вычисляются темпы наращивания по формуле:

Абсолютное значение одного процента прироста рассчитывают как отношение абсолютного прироста (цепного) к темпу прироста (цепному) за тот же период времени:

.

2.3. Средние показатели в рядах динамики

Для получения обобщающих показателей динамики социально – экономических явлений определяются средние величины.

Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.

В интервальных рядах динамики средний уровень ряда определяется по формуле простой средней арифметической:

, где – число уровней ряда.

В моментном ряду динамики с равноотстоящими датами времени средний уровень определяется по формуле средней хронологической:

.

В моментном ряду динамики с неравными промежутками между временными датами средний уровень ряда вычисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где – количество дней (месяцев) между смежными датами.

Средний абсолютный прирост (или средняя скорость роста) рассчитывается как средняя арифметическая из показателей абсолютных цепных приростов:

или по формуле: , где – число уровней ряда.

Средний коэффициент роста вычисляется по формуле средней геометрической из показателей цепных коэффициентов роста за отдельные периоды:

или по формуле: .

Средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах:

Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста: .

3. Методы выделения тренда

Как было отмечено, значения уровней временных рядов экономических показателей складываются из следующих составляющих (компонент): тренда, сезонной, циклической и случайной:

– длительные, постоянно действующие факторы оказывают на изучаемое явление определяющее влияние и формируют основную тенденцию ряда, называемую трендом ;

– кратковременные, периодические факторы формируют сезонные колебания ряда , период сезонных колебаний не превышает одного года; если период более одного года, то говорят о наличии циклической составляющей ВР

– случайная компонента отражает влияние неподдающихся учету и регистрации случайных факторов.

Определение: модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, т.е. , называется аддитивной.

Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, т.е. , называется мультипликативной.

Модель, представленная уравнением , называется смешанной.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний: если амплитуда сезонных колебаний приближенно постоянная, используют аддитивную модель. Если амплитуда возрастает или уменьшается, то используют мультипликативную модель.

Основная задача исследования временных рядов (ВР) состоит в выявлении каждой из перечисленных компонент, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Важнейшей классической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

Прежде чем перейти к выделению тренда, следует проверить статистическую гипотезу о том, существует ли он вообще. Отсутствие основной тенденции (тренда) означает неизменность среднего уровня ряда во времени

Изучение тренда включает в себя два основных этапа:

1) Ряд динамики проверяется на наличие тренда

2) Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов.

 

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.

1) Метод укрупнения интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

2) Метод скользящей средней. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной.

Так, при сглаживании по трем точкам (т.е. с интервалом сглаживания равным 3), скользящие средние (начиная с ) вычисляются по формулам: .

Выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле:

.

Для последней точки расчет симметричен.

При сглаживании по пяти точкам (с интервалом сглаживания равном 5) имеем такие уравнения:

,

Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках.

3) Аналитическое выравнивание.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции ВР является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени или тренда. Этот способ называется аналитическим выравниванием ВР.

Зависимость от времени может принимать разные формы, поэтому для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

– линейный тренд ;

– гипербола ;

– экспонента или ;

– тренд в форме степенной функции ;

– полиномы различных порядков .