ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ТИПИЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В СФЕРЕ ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК

Дифференциальные уравнения представляют один из наиболее старых «инструментов» исследователя, который в настоящее время существенно трансформировался. Происшедшие изменения в основном коснулись методов решения таких уравнений (или их систем), главная же проблема исследователя — составление таких уравнений — осталась неизменной.

Единой методики составления дифференциальных уравнений не существует.

Решение многих технических задач не требует принципиально нового подхода и зачастую может сводиться к корректировке уже полученных ранее решений.

Как правило, среди множества публикаций по изучаемому вопросу имеются работы, в которых авторы уже решали аналогичные теоретические задачи, используя дифференциальные уравнения в качестве математической модели. В этих работах могли рассматриваться несколько иные условия, авторы могли в чем-то ошибаться, что-то недооценивать или переоценивать, так что корректировка их решений может быть очень полезным шагом в изучении рассматриваемого вопроса. Тем не менее, внесение поправок в такие решения несопоставимо проще, чем создание принципиально новой математической модели, т. е. такое усовершенствование известных решений вполне может быть доступно начинающему исследователю, даже не обладающему большими навыками составления дифференциальных уравнений. Это характерно для многих исследований в сфере механики (теории упругости, теории пластичности, статики и динамики сооружений и т. д.), когда сложные на первый взгляд решения нередко оказываются вариантами преобразования уже известных решений.

В ряде случаев решение-аналог найти не удается. В этих случаях работа упрощается, если исследователь знаком с некоторыми типовыми приемами составления дифференциальных уравнений.

На первом этапе составления дифференциальных уравнений полезно составить упрощенную схему взаимодействия объекта с внешней средой.

Схема, представленная на рис. 7.1а, отражает ситуацию, когда на объект воздействует только один фактор х, а его поведение (взаимодействие с внешней средой) оценивается по одному показателю у (один выходной сигнал).

Схема, соответствующая рис. 7.1б, отражает ситуацию, когда на объект действует тоже один фактор х, но его поведение оценивается по нескольким показателям у₁, y₂…,y_i (несколько выходных сигналов).

Схема, соответствующая рис. 7.1в, — на объект действуют несколько факторов x₁, х₂,…x_i но его поведение оценивается по одному показателю у.

Схема, соответствующая рис. 7.1г, — на объект действуют несколько факторов x_1, x_2,…x_i, и y₁,y₂,…y_i его поведение оценивается тоже по нескольким показателям

Изменение выходного сигнала во времени y(t) называют выходной характеристикой системы.

Схемы с несколькими входными воздействиями x_i и выходными сигналами у_i, обычно приводятся к более простым схемам с одиночными воздействиями и выходными сигналами. Каждое воздействие связывается с каждым выходным сигналом, при этом выходные сигналы считаются независимыми.

В задачах, связанных с применением методов механики, параметрами изменений воздействующих факторов и выходных сигналов чаще всего являются время (t) и пространственные координаты (x, у, z). В случаях, когда изучаемый объект является статическим, т. е. его выходные сигналы не зависят ни от времени, ни от пространственных координат, построение функциональной модели обычно осуществляется с помощью алгебраических уравнений. Если интересующие исследователя переменные зависят от времени, но не зависят от пространственных координат, для моделирования используются обыкновенные дифференциальные уравнения.

В случаях, когда выходная характеристика зависит и от времени, и от пространственных координат, используются дифференциальные уравнения с частными производными.

Структуру дифференциального уравнения можно приближенно определять по виду выходной характеристики изучаемого объекта, получаемой на основе экспериментов или даже исходя из сложившихся практических представлений.

Рис. 7.2 Примеры характеристик изучаемого объекта при ступенчатом внешнем воздействии (зависимости искомого показателя у от параметра t)

Так, линейная зависимость на рис. 7.2а(наклонная часть) соответствует решению дифференциального уравнения

при начальном условии: t = 0 → у = 0.

В этом уравнении k — коэффициент размерности и пропорциональности (k > 0).

Зависимость на рис. 7.2б соответствует решению такого же уравнения, но при начальном условии t = 0→y = y₀ ≠ 0

Рис. 7.2г может быть описан полным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка

где а₀, k — коэффициенты дифференциального уравнения.

Начальное условие: t = 0→у = у₀≠0.

Реакция объекта, соответствующая рис. 7.1в, позволяет использовать в качестве математической модели дифференциальное уравнение второго порядка

где a ₀, a_i,k — коэффициенты уравнения.

Начальное условие: t = 0 —>у = у₀* 0.

Если входные воздействия х являются некоторыми функциями от параметра t (времени или другого фактора), в приведенных дифференциальных уравнениях изменяются правые части, т. е. принимается х = f(t).

Описанный прием удается использовать далеко не всегда. Чаще всего приходится искать математическую модель, не зная ее структуры, исходя из логического анализа имеющихся представлений об изучаемом процессе. Такой поиск обычно основывается либо на анализе малых приращений изучаемых переменных, рассматриваемых как дифференциалы, либо на анализе скоростей их изменения, рассматриваемых как производные. Вместо скоростей иногда удобно рассматривать ускорения, представляющие вторые производные рассматриваемой переменной.

Далее приводятся некоторые примеры, иллюстрирующие эти подходы.

Пример 1. Если тело, нагретое до температуры T помещено в среду, температура которой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что приращение ∆T (отрицательное при Т > 0) его температуры за малый промежуток времени ∆t с достаточной точностью выражается формулой

∆T = -kT∆t,

где k — постоянный коэффициент.

Заменяя приращения ∆T, ∆t дифференциалами, имеем

dT = -kTdt

т. е. получаем дифференциальное уравнение

Общее решение (общий интеграл) этого уравнения имеем вид:

T=Ce^-kt (7.5)

где постоянная С определяется, исходя из начального условия

t = 0→T₀ = Се⁰ = С,

где Т₀ — температура в момент времени t = 0.

Таким образом, частное решение будет иметь вид

T=T₀e^-kt (7.5а)

Эту же задачу можно решать, исходя из условия, что скорость остывания убывает пропорционально температуре, т. е. принимая зависимость (7.4) за исходную. Все последующие действия остаются прежними.

Пример 2. Груз массой т подвешен к пружине и находится в положении равновесия (рис. 7.3а). Отклонения его от положения равновесия с помощью растяжения пружины (рис. 7.36) приводят груз в движение. Если x(t) обозначает величину отклонения груза от положения равновесия в момент времени (, то ускорение тела выражается второй производной x"(t). Сила т • x"(t)_t действующая на тело, при небольших растяжениях пружины по законам теории упругости пропорциональна отклонению x(t). Таким образом, получается дифференциальное уравнение

и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания (рис. 7.3в).

В выражениях (7.6)-(7.7) используются наиболее привычные обозначения пути и ускорения д: и х", если же привести их в соответствие со схемами рис. 7.1, то x везде необходимо заменить на у.

Аналогичным образом составляются и уравнения в частных производных.