Степенные средниеМатематическая статистика выводит различные средние из формулы степенной средней:
где m – показатель степени, определяющий вид степенной средней. С изменением показателя степени m формула степенной средней меняется, и в каждом отдельном случае приходим к определенному виду средней (гармонической, геометрической, арифметической, квадратической и т.д.). При расчете средней по формуле, записанной выше, предполагается, что все значения усредняемого признака Х имеют одинаковую важность (вес). Она называется простой степенной средней. Если же значения Х имеют неодинаковую важность (вес) при усреднении, то в формулу степенной средней вводится дополнительный показатель – вес усреднения – n i. В результате получаем формулу взвешенной степенной средней:
где ni – вес усреднения.
1. При m = 1 степенная средняя называется средней арифметической. Определение 6.2. Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Иначе можно сказать, что средняя величина – среднее слагаемое. При её вычислении общий объем признака медленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия – это такая сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд заработной оплаты труда (или все доходы, направленные на личное потребление) был распределен между работниками поровну. Формула для расчета средней арифметической простой:
Формула для расчета средней арифметической взвешенной:
Величина средней взвешенной зависит уже не только от величины индивидуальных значений признака (как в простой средней), но и от соотношения весов. Например, чем больше веса у малых значений вариант, тем величина средней меньше. Поэтому важное значение имеет обоснование и выбор веса.
Свойства средней арифметической 1) Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю. Доказательство:
Для взвешенной средней справедливо следующее свойство: сумма взвешенных отклонений равны нулю. 2) Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя величина увеличиться или уменьшиться во столько же раз. Доказательство:
Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в с раз, произвести расчет средней и результат умножить на с. 3) Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого индивидуального признака вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число. Доказательство:
Это свойство полезно использовать при расчете средней величины из многозначных и слабоварьирующихся значений признака, например роста группы лиц: х1 = 179 см, х2 = 183 см, х3 = 171 см, х4 = 180 см, х5 = 169 см. Для вычисления среднего роста из каждого значения вычитаем 170 см и находим среднюю из остатков: (9 + 13 + 1 - 1): 5 = 6,4. Средний рост = 6,4 + 170 = 176,4 см. 4) Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, то средняя величина не изменится. Используя это свойство, при расчетах следует сокращать все веса на их общий множитель или выражать многозначные числа весов в более крупных единицах измерения. 5) Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа. Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимаются середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. Например, у нас есть данные о распределении рабочих предприятия по возрасту: 2. При m = -1 степенная средняя называется средней гармонической. Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней. Иными словами, если неизвестен знаменатель в определении средней величины, то используют формулу средней гармонической. Простая формула средней арифметической:
Взвешенная формула средней гармонической:
3. При m = 0 степенная средняя называется средней геометрической. Средняя геометрическая применяется, как правило, для оценки среднего показателя относительных величин (например, средний темп роста). Средняя геометрическая простая определяется по формуле:
4. При m = 2 степенная средняя называется средней квадратической. Средняя квадратическая используется при расчете показателей вариации: - простая: - взвешенная:
5. При m = 3 степенная средняя называется средней кубической. Средняя кубическая используется при расчете показателей вариации. - простая: - взвешенная: При расчете различных степенных средних по одним и тем же данным статистического наблюдения средние не будут одинаковы (свойство мажорантности средних):
|
, (6.1)
.
.
