Структурные средние

К структурным средним относятся медиана и мода.

Определение 6.3. Медианой Me вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжирования ряда наблюдений.

1) Расчет медианы для несгруппированного вариационного ряда.

Пусть в результате наблюдения были получены следующие данные: 15, 16, 18, 19, 20, 25, 15, 36, 15, 24. Для расчета медианы расположим все значения данной статистической совокупности в порядке возрастания их значений (т.е. ранжируем): 15, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 24, 25, 36. Теперь определим положение медианы по формуле:

Для данного ряда: . Таким образом, медиана находится в середине отрезка разделяющего пятую и шестую варианту: .

2) Расчет медианы для сгруппированного дискретного вариационного ряда.

Рассмотрим следующий пример. В таблице приведены результаты по сдаче экзамена по дисциплине «Статистика» студентами экономического факультета.

Оценка,
Число студентов,

Определим положение медианы: . Таким образом, медиана находится в том столбце, в который попадает середина между 34-м и 35-м значением. Из таблицы находим, что медиана равна 4.

3) Расчет медианы для интервального вариационного ряда.

Для расчета значения медианы в интервальном вариационном ряду вначале находят интервал, содержащий медиану. Внутри медианного интервала расчет значения медианы производится по формуле:

(6.2)

где – минимальная граница медианного интервала, – значение медианного интервала, – частота медианного интервала, – сумма всех частот интервалов, предшествующих медианному интервалу, – сумма всех частот.

Определение 6.4. Модой Mo вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

1) Нахождение моды для несгруппированного вариационного ряда

Пусть в результате наблюдения были получены следующие данные: 15, 16, 18, 19, 20, 25, 15, 36, 15, 24. Для нахождения моды расположим все значения данной статистической совокупности в порядке возрастания их значений: 15, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 24, 25, 36. Чаще всего в данной совокупности встречается значение 15. Таким образом, мода в данной статистической совокупности равна 15.

2) Нахождение моды для сгруппированного дискретного вариационного ряда

В данном вариационном ряду чаще всего встречается значение 5, т.е. Мо = 5.

3) Нахождение моды для равноинтервального вариационного ряда

В случае если вариационный ряд имеет равные интервалы, то модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Мода внутри модального интервала определяется по следующей формуле:

(6.3)

где – минимальная граница модального интервала, – значение модального интервала, – частота модального интервала, – частота интервала, предшествующего модальному, – частота интервала, следующего за модальным.

4. Нахождение моды для неравноинтервального вариационного ряда

При неравных интервалах модальный интервал находится по наибольшей плотности. Мода внутри модального интервала определяется по следующей формуле:

(6.4)

Критерий практического использования моды, медианы и средней арифметической. Мода, медиана и средняя арифметическая используются не только для характеристики типа распределения, но и для решения практических задач, базирующихся на распределении переменной x. При этом учитывают различные математические свойства (критерии этих величин). Так, мода является такой характеристикой, при использовании которой в качестве наиболее типичной варианты допускают наименьшее число ошибок (отклонений). Значит, здесь минимизируется число ошибок, но при этом не учитывается их величина. Там где эта величина не имеет значения, следует применять моду.

Медиана удовлетворяет критерию минимизации суммы ошибок. Значит, там, где имеет основное значение не число ошибок, а сумма их величин, в качестве конкретной варианты, на которую надо равняться, чтобы сумма ошибок была минимальной, будет медиана.

Средняя арифметическая не является конкретной вариантой, а дает абстрактную обобщенную характеристику совокупности по тому или иному количественному варьирующему признаку. При этом средняя арифметическая удовлетворяет критерию минимизации суммы квадратов отклонений. Дисперсия, исчисленная от средней арифметической, является минимальной в этом ряду распределения. Сумма квадратов отклонений по сравнению с суммой отклонений придает крайним отклонениям значительно больший удельный вес, поскольку они возводятся в квадрат. Следовательно, в тех случаях, когда нужно учесть не только величину ошибок, нов особенности большие ошибки, попытаться найти такое решение, чтобы их сумма была минимальной, нужно опираться на среднюю арифметическую.