Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Пример 1. Найти знаки чисел: , ,

Решение: , значит < 0;

, значит > 0;

, значит < 0;

Пример 2. Вычислить , если и

Решение: из основного тригонометрического тождества выражаем

т. к. , то < 0, поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак

«минус»

Ответ:

Пример 3. Вычислить , если и

Решение: из формулы находим

, так как то < 0, и поэтому

Ответ:

Пример 4. Доказать равенство

Доказательство: Используя определение тангенса, котангенса и основное тригонометрическое тождество, получаем:

Таблица часто встречающих значений тригонометрических функций.

								- 1
							- 1
					Не существует			Не существует
	Не существует						Не существует		Не существует

 

Пример 5. Вычислить + -

Решение: + -

Пример 6. Вычислить

Решение:

 

Четность и нечетность тригонометрических функций.

Например:

; ;

1. Стереометрия. Многогранники и тела вращения.

Стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (пространственных фигур). Слово «стереометрия» состоит из греческих слов «стереос»— телесный, пространственный и «метрео»— измеряю.

Призма – это многогранник (рис.79), две грани которой ABCDEи abcde (основания призмы) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани(A ab B, B bc C и т.д.) - параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой (A a, или B b, или C c и т.д.). Параллелограммы A ab B, B bc C и т.д. называются боковыми гранями; рёбра A a, B b, C c и т.д. называются боковыми рёбрами. Высота призмы – это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае – это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной. На рис.79 показана наклонная призма.

Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением: d ²= a ² + b ² + c ².Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все рёбра куба равны.

Пирамида – это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) – это произвольный многоугольник (ABCDE, рис.80), а остальные грани (боковые грани) – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на её основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Треугольная пирамида является тетраэдром (четырёхгранником), четырёхугольная – пятигранником и т.д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны; все боковые грани – равнобедренные треугольники. Высота боковой грани (SF) называется апофемой правильной пирамиды.

Если провести сечение abcde, параллельное основанию ABCDE (рис.81) пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани ABCDE и abcde называются основаниями; расстояние O o между ними – высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная. Все боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные равнобочные трапеции. Высота F f боковой грани (рис.81) называется апофемой правильной усечённой пирамиды.

Тела вращения.

Конус

Пусть - окружность, а ОР - прямая, перпендикулярная к плоскости этой окружности (рис.1). Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью (рис.1).

рис. 1

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей , называется конусом (рис.2). Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг –

рис. 2

основанием конуса. Точка Р называется вершиной конуса. Отрезки, соединяющие точки окружности с вершиной Р, называются образующими конуса (на рис. 2 изображены образующие РА, РВ и др.). Все образующие конуса равны. Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к пло­скости основания. Отре­зок ОР называется высо­той конуса.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей один из его катетов. На рисунке 3 изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг прямой АВ. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание – вращением катета ВС.

рис. 3

Если секущая плоскость проходит через ось конуса (рис. 4), то сечение представляет собой равнобедренный тре­угольник, основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны - образующие конуса. Это сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса (рис. 5), то сечение конуса представляет собой круг с цент­ром на оси конуса.

рис. 4 рис. 5