Проверка статистических гипотез

Пример. Две рабочие группы методом микроанализа определяли содержания азота в одном органическом соединении (цинхонине). Были получены следующие значения:

 

1-ая группа (%)	9,29	9,38	9,35	9,43
2-ая группа (%)	9,53	9,48	9,61	9,68

 

Посчитаем среднее значение и среднее квадратическое отклонение.

 

1-ая группа (%)		S1=0,058
2-ая группа (%)		S2=0,088

 

Мы видим, что средние слегка отличается. Надо проверить, можно ли объяснить это различие только случайной ошибкой или здесь есть систематическая ошибка. Сравним средние значения.

Н₀: оба средних принадлежат одной и той же генеральной совокупности со средним .

По t – критерию Стьюдента имеет t = 4,03.

При и (8-2)=6-и степеням свободы t_кр=3,71.

t > t_кр, следовательно, гипотеза Н₀ отвергается, т.е. выборки принадлежат различным совокупностям.

 

Корреляционный и регрессионный анализ

 

Корреляционный анализ экспериментальных данных для 2-х случайных величин:

1. Вычисление выборочных коэффициентов корреляции.

2. Составление корреляционной матрицы.

3. Проверка статистической гипотезы значимости связи.

 

Выборочный коэффициент корреляции – эмпирическая мера зависимости между X и Y:

.

 

Уравнение линейной регрессии: ,

где

;

.

 

Пример. Вычислить корреляции между показателями охвата населения прививками и заболеваемостью брюшным тифом.

Сначала вычислим точечные оценки математических ожиданий для каждого показателя: и .

Обозначим

Районы	Охват населения прививками	Заболеваемость брюшным тифом (в %)	dx	dy	dx2	dy2	dx dy
X	Y
A	14,7	1,4	7,0	-4,2	49,0	17,64	-29,4
B	13,4	1,4	5,7	-4,2	32,49	17,64	-23,94
C	9,6	2,3	1,9	-3,3	3,61	10,89	-6,27
D	8,1	2,1	0,4	-3,05	0,16,	12,25	-1,4
E	5,5	6,2	-2,2	0,6	4,84	0,36	-1,32
F	5,2	6,9	-2,5	1,3	6,25	1,69	-3,25
G	4,4	8,6	-3,3	3,0	10,89	9,0	-9,9
H	4,4	10,,8	-3,3	5,2	10,89	27,04	-17,16
I	4,0	11,0	-3,7	5,4	13,69	29,16	-19,98

Тогда формула для подсчета коэффициента корреляции примет следующий вид:

Подставив значения; получим:

Проверим значимость полученного результата

 

 

	Уровень значимости
Число степеней свободы	0,10	0,05	0,01
	1,89	2,36	3,5

 

Допустим мы задали =0,1, тогда при n-2 = 9-2 = 7 степенях свободы значения t _крит.=3,5.

Значения больше t _крит , следовательно гипотеза о незначимости коэффициента корреляции отвергается.

Вывод: Между показателями охвата населения прививками и заболеваемостью брюшным тифом существует сильная обратная корреляционная связь, т.д. чем больше население охвачено прививками, тем меньше показатель заболеваемости брюшным тифом.