Векторное произведение координатных ортов. Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатамиОтвет: Векторное произведение координатных ортов.
Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Пусть векторы а = (х1; у1; z1) и b = (х2; у2; z2) заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат О, i, j, k, причем тройка i, j, k является правой. Разложим а и b по базисным векторам: а = x1i + y1 j + z1 k, b = x2 i + y2 j + z2 k. Используя свойства векторного произведения, получаем [а; b] = [x1 i + y1 j + z1 k; x2 i + y2 j + z2 k] = = x 1x2 [i; i] + x1 y2 [i; j] + x1 z2 [i; k] + + y1 x2 [j; i] + y1 y2 [j; j] + y1 z2 [j; k] + + z1 x2 [k; i] + z1 y2 [k; j] + z1 z2 [k; k]. (1) По определению векторного произведения находим [i; i] = 0, [i; j] = k, [i; k]= — j, [j; i] = — k, [j; j] = 0, [j; k] = i, [k; i] = j, [k; j] = — i. [k; k] = 0. Учитывая эти равенства, формулу (1) можно записать так: [а; b] = x1 y2 k — x1 z2 j — y1 x2 k + y1 z2 i + z1 x2 j — z1 y2 i или [а; b] = (y1 z2 — z1 y2) i + (z1 x2 — x1 z2) j + (x1 y2 — y1 x2) k. (2) Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами. Полученная формула громоздка.Используя обозначения определителей можно записать ее в другом более удобном для запоминания виде:
Обычно формулу (З) записывают еще короче:
|
