ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

 

1. Задание по теме «Векторы. Линейные операции над векторами»

 

1.1. Вычислить

1. Дано ï a ÷=5, ï b ÷=6. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен π/6.

2. Дано ï a ÷=4, ï b ÷=6. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен π/4.

3. Дано ï a ÷=5, ï b ÷=3. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен π/3.

4. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=6. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен π/2.

5. Дано ï a ÷=5, ï b ÷=7. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен 2π/3.

6. Дано ï a ÷=3, ï b ÷=6. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен 3π/4.

7. Дано ï a ÷=5, ï b ÷=1. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен 5π/6.

8. Дано ï a ÷=1, ï b ÷=6. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен π.

9. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=4. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен 7π/6.

10. Дано ï a ÷=3, ï b ÷=5. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен 5π/4.

11. Дано ï a ÷=5, ï b ÷=5. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен 4π/3.

12. Дано ï a ÷=4, ï b ÷=8. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен 3π/2.

13. Дано ï a ÷=7, ï b ÷=6. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен 5π/3.

14. Дано ï a ÷=4, ï b ÷=3. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен 7π/4.

15. Дано ï a ÷=1, ï b ÷=5. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен 11π/6.

16. Дано ï a ÷=1, ï b ÷=6. Найти (a, b), если угол между векторами a и b равен 2π.

17. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=2 и j=(a, b)=p/3. Найти модуль вектора с =2 a -3 b.

18. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=4 и j=(a, b)=2p/3. Найти модуль вектора с =2 a -3 b.

19. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=3 и j=(a, b)=4p/3. Найти модуль вектора с =2 a -3 b.

20. Дано ï a ÷=3, ï b ÷=1 и j=(a, b)=5p/3. Найти модуль вектора с =2 a -3 b.

21. Дано ï a ÷=3, ï b ÷=2 и j=(a, b)=p/4. Найти модуль вектора с =2 a -3 b.

22. Дано ï a ÷=4, ï b ÷=1 и j=(a, b)=3p/4. Найти модуль вектора с =2 a -3 b.

23. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=1 и j=(a, b)=5p/4. Найти модуль вектора с =2 a -3 b.

24. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=5 и j=(a, b)=7p/4. Найти модуль вектора с =2 a -3 b.

25. Дано ï a ÷=1, ï b ÷=4 и j=(a, b)=2p/3. Найти модуль вектора с =5 a+ 3 b.

26. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=2 и j=(a, b)=p/3. Найти модуль вектора с =5 a+ 3 b.

27. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=4 и j=(a, b)=p/4. Найти модуль вектора с =5 a+ 3 b.

28. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=3 и j=(a, b)=5p/3. Найти модуль вектора с =5 a+ 3 b.

29. Дано ï a ÷=3, ï b ÷=1 и j=(a, b)=4p/3. Найти модуль вектора с =5 a+ 3 b.

30. Дано ï a ÷=3, ï b ÷=2 и j=(a, b)=5p/4. Найти модуль вектора с =5 a+ 3 b.

31. Дано ï a ÷=4, ï b ÷=1 и j=(a, b)=7p/4. Найти модуль вектора с =5 a+ 3 b.

32. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=1 и j=(a, b)=5p/6. Найти модуль вектора с =5 a+ 3 b.

33. Дано ï a ÷=5, ï b ÷=4 и j=(a, b)=120⁰. Найти (7 a + b)².

34. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=1 и j=(a, b)=5p/4. Найти (2 a + b)².

35. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=5 и j=(a, b)=7p/4. Найти (7 a +3 b)².

36. Дано ï a ÷=1, ï b ÷=4 и j=(a, b)=2p/3. Найти (4 a + b)².

37. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=2 и j=(a, b)=p/3. Найти (2 a +3 b)².

38. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=4 и j=(a, b)=p/4. Найти (3 a + b)².

39. Дано ï a ÷=2, ï b ÷=3 и j=(a, b)=5p/3. Найти (2 a +3 b)².

40. Дано ï a ÷=3, ï b ÷=1 и j=(a, b)=4p/3. Найти (4 a + b)².

41. Найти в базисе (i, j, k) координаты векторов a = i +3 j -2 k, b = k.

42. Найти в базисе (i, j, k) координаты векторов a =5 i-j+ 3 k, b =-4 j.

43. Вычислить (2 i - j) j +(j -2 k) k +(i -2 k)².

44. Вычислить i (j+k)+ j (3 i - k)+ k (i+ 2 j).

45. Найти скалярное произведение векторов a и b и угол j между ними:

a =(1,-2,2), b =(-1,1,0).

46. Найти скалярное произведение векторов a и b и угол j между ними:

a =(1,-3,2), b =(1,1,0).

47. Найти скалярное произведение векторов a и b и угол j между ними:

a =(1,-2,3), b =(-1,2,0).

48. Найти скалярное произведение векторов a и b и угол j между ними:

a =(1,2,2), b =(3,1,0).

49. Найти скалярное произведение векторов a и b и угол j между ними:

a =(1,4,2), b =(0,1,0).

50. Найти скалярное произведение векторов a и b и угол j между ними:

a =(3,-2,2), b =(-1,1,0).

51. Найти скалярное произведение векторов a и b и угол j между ними:

a =(5,-2,2), b =(2,1,0).

52. Найти скалярное произведение векторов a и b и угол j между ними:

a =(1,-2,1), b =(1,1,3).

53. Найти скалярное произведение векторов a и b и угол j между ними:

a =(1,-4,2), b =(-3,1,0).

54. Доказать,что векторы a =(8,4) и b =(3,-6) перпендикулярны.

54. Доказать,что векторы a =(А,В) и b =(В,-А) перпендикулярны, а длины их равны.

55. При каком значении m векторы a =(4,m,-6) и b =(m,2,-7) взаимно перпендикулярны?

56. При каком значении р векторы a =(р,4,-14) и b =(8,р,-12) взаимно перпендикулярны?

57. Даны компланарные векторы a, b, c, причем êа ÷=3, êb ÷=2, êc ÷=5,

Ð(a,b)= Ð(b,c)=60⁰. Найти модуль вектора d = a + b - c.

58. Даны четыре точки А(-2,-3,8), В(2,1,7), С(1,4,5),D(-7,-4,7). Будут ли коллинеарны вектора АВ и СD?

59. Даны три вектора a =(3,-1), b =(1,-2), c =(-1,7). Определите разложение вектора p = a + b + c по векторам a и b.

60. Даны три вектора a =(3,-1), b =(1,-2), c =(-1,7). Определите разложение вектора p = a +2 b + c по векторам a и b.

1.2. Даны векторы a (a₁, a₂, a₃), b (b₁, b₂, b₃), c (c₁, c₂, c₃) и d (d₁, d₂, d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора d в этом базисе.

 

1. a (1;2;3), b (-1;3;2), c (7;-3;5), d (6;10;17)

2. a (4;7;1), b (0;1;3), c (2;-4;1), d (1;-13;-13)

3. a (3;2;3), b (6;1;2), c (3;-2;1), d (7;4;11)

4. a (10;3;1), b (1;4;2), c (3;9;2), d (19;30;7)

5. a (2;4;1), b (1;3;6), c (5;3;1), d (24;20;6)

6. a (1;7;3), b (3;4;2), c (4;8;5), d (7;32;14)

7. a (1;-2;3), b (4;4;2), c (6;4;2), d (14;18;6)

8. a (1;4;3), b (6;8;5), c (3;1;4), d (21;18;33)

9. a (2;7;3), b (3;1;8), c (2;-7;4), d (16;14;27)

10. a (7;2;1), b (4;3;5), c (3;4;-2), d (2;-5;-13)

2. Задание по теме «Прямая на плоскости»

2.1. Даны на координатной плоскости хОу вершины А(x₁, y₁), В(x₂, y₂), С(x₃, y₃) треугольника. Найти: 1) длину и уравнение каждой из трех сторон Δ АВС; 2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) площадь Δ АВС; 8) систему неравенств, определяющих треугольник АВС. Сделать чертеж.

 

1. А(1; 1), В(7; 4), С(4; 5)

2. А(1; 1), В(-5; 4), С(-2; 5)

3. А(-1; 1), В(5; 4), С(2; 5)

4. А(-1; 1), В(-7; 4), С(-4; 5)

5. А(1; -1), В(7; 2), С(4; 5)

6. А(1; -1), В(-5; 2), С(-2; 3)

7. А(-1; -1), В(5; 2), С(2; 3)

8. А(-1; -1), В(-7; 2), С(-4; 3)

9. А(0; 1), В(6; 4), С(3; 5)

10. А(1; 0), В(7; 3), С(4; 4)

11. А(1; -1), В(4; 3), С(5; 1)

12. А(0; -1), В(3; 3), С(4; 1)

13. А(1; -2), В(4; 2), С(5; 0)

14. А(2; -2), В(5; 2), С(5; -2)

15. А(0; 0), В(3; 4), С(4; 2)

16. А(0; 1), В(3; 5), С(4; 3)

17. А(3; -2), В(6; 2), С(7; 0)

18. А(3; -3), В(6; 1), С(7; -1)

19. А(-1; 1), В(2; 5), С(3; 3)

20. А (4; 0), В(7; 4), С(8; 2)

21. А (2; 1), В(0; 1), С(1; -1)

22. А (2; 1), В(-1; 1), С(-2; -1)

23. А (2; 2), В(-2; 0), С(2; -1)

24. А (2; 0), В(-1; 2), С(-2; -1)

25. А (0; 2), В(-2; -1), С(1; -2)

26. А (3; 4), В(-4; 0), С(0; -2)

27. А (0; 3), В(-3; 0), С(1; -4)

28. А (2; 0), В(-3; 0), С(1; -3)

29. А (4; 0), В(1; 4), С(0; -1)

30. А (3; 1), В(1; 3), С(-1; 0)

3. Задание по теме «Кривые второго порядка»

Вариант 1.

1. Найти координаты центра и радиус окружности 2х² + 2у² –8х +5у –4 =0.

2. Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках (±6;0), а фокусы – в точках F₁(-4;0) и F₂(4;0).

3. Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Оу, если гипербола проходит через точку (√3; -√5).

4. Через фокус параболы у²=10х проведена хорда перпендикулярно к ее оси. Найти длину хорды.

Вариант 2.

1. Найти координаты центра и радиус окружности х² + у² –8х +6у=0.

2. Составить уравнение эллипса, если известны координаты фокусов (±15;0) и точка М(20;12) эллипса.

3. Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Ох, если гипербола проходит через точку (-5; 4).

4. Составить уравнение параболы, зная координаты ее вершины О(2;2) и уравнение директрисы у+4=0.

 

Вариант 3.

1. Найти координаты центра и радиус окружности х² + у² +10х – 4у+ 29=0.

2. Составить уравнение эллипса, если известны координаты фокусов (±22;0) и точка М(13;12) эллипса.

3. Составить уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Ох, если гипербола проходит через точку (8; 2).

4. Составить уравнение параболы, зная координаты ее вершины О(0;0) и уравнение директрисы у+6=0.

 

Вариант 4.

1. Найти координаты центра и радиус окружности х² + у² – 4х + 14у +54=0.

2. Составить уравнение эллипса, если известны координаты фокусов (±2;0) и точка М(2;-3) эллипса.

3. Найти вершины, фокусы и эксцентриситет, асимптоты гиперболы, зная ее уравнение х²/9 – у²/16=1.

4. Через фокус параболы у²=10х проведена хорда перпендикулярно к ее оси. Найти длину хорды.

Вариант 5.

1. Найти координаты центра и радиус окружности х² + у² +6х – 10у +13=0.

2. Найти точки пересечения эллипса х²/25+ у²/9=1 с прямой 3х + 5у – 21=0.

3. Составить уравнение гиперболы, если она проходит через точку (9;3√2) и имеет асимптоты у=±(√3/3)х.

4. Составить уравнение параболы, зная координаты ее вершины О(-2;4) и уравнение директрисы у+2=0.

Вариант 6.

1. Найти координаты центра и радиус окружности х² + у² +12х – 13=0.

2. Найти точки пересечения эллипса х²/225+ у²/25=1 с прямой х + 3у – 21=0.

3. Составить уравнение гиперболы, если она проходит через точку (-4;-2) и имеет асимптоты у=±(√2/2)х.

4. Составить уравнение параболы а вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой 3х – 2у + 5=0 с осью ординат.

Вариант 7.

1. Найти координаты центра и радиус окружности 9х²+9у²+42х–54у–95 =0.

2. Найти точки пересечения эллипса 4х²+ 9у²=36 с прямой у=х – 6.

3. Составить уравнение гиперболы, если она проходит через точку (4√3;3√3) и имеет асимптоты у=±(√3/2)х.

4. Через фокус параболы у²=10х проведена хорда перпендикулярно к ее оси. Найти длину хорды.

Вариант 8.

1. Найти координаты центра и радиус окружности 4х²+4у²–4х+20у–23 =0.

2. Найти точки пересечения эллипса 4х²+ 9у²=36 с прямой 2х + 3√3у =12.

3. Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов (±5;0) и уравнениям ее асимптот у=±(4/3)х.

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая у=1.

Вариант 9.

1. Найти координаты центра и радиус окружности х² + у² + 6х + 14у + 81=0.

2. Найти точки пересечения эллипса 4х²+ 9у²=36 с прямой 2х + 3у =6.

3. Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов (±3;0) и уравнениям ее асимптот у=±√2х.

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая у=-4.

Вариант 10.

1. Составить уравнение окружности с центром в точке О(2;-3), проходящей через точку А(5;1).

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Оу, если малая ось равна 10, а эксцентриситет ε;=12/13.

3. Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов (±8;0) и уравнениям ее асимптот у=±√3х.

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х=3.

Вариант 11.

1. Составить уравнение окружности с центром в точке О(5;-7), проходящей через точку А(2;-3).

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Оу, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ε;=0,6.

3. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если она проходит через точки (-6;-√7) и (6√2;4).

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х=-2.

Вариант 12.

1. Составить уравнение окружности с центром в точке О(-1;4), проходящей через точку А(3;5).

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Оу, если большая ось равна 8, а расстояние между фокусами равно 6.

3. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если она проходит через точки (-8;2√2) и (6;-1).

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку (-2;-2).

Вариант 13.

1. Составить уравнение окружности с центром в точке О(-3;0), проходящей через точку А(2;4).

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Оу, если его полуоси равны 7 и 9.

3. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина действительной оси равна 16 и гипербола проходит через точку (-10;-3).

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку (-4;2).

Вариант 14.

1. Составить уравнение окружности, если концы одного из диаметров имеют координаты А(3;9), В(7;3).

2. Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, зная его уравнение 256х²+ 81у²=576.

3. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее мнимой оси равна 12 и гипербола проходит через точку (20;8).

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку (5;-3).

Вариант 15.

1. Составить уравнение окружности, если концы одного из диаметров имеют координаты А(0;3), В(6;-7).

2. Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, зная его уравнение 9х²+ 25у²=4.

3. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее действительной оси равна 6, а эксцентриситет равен 5/3.

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точку (-3;1).

Вариант 16.

1. Составить уравнение окружности, если концы одного из диаметров имеют координаты А(-2;3), В(2;5).

2. Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, зная его уравнение 2х²+ у²=32.

3. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, если длина ее мнимой оси равна 8, а эксцентриситет равен 3√5/5.

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точку (2;-3).

Вариант 17.

1. Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок прямой 4х - 3у+12=0, содержащийся между осями координат.

2. Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, зная его уравнение 3х²+ 5у²=30.

3. Составить уравнение гиперболы, если известны координаты ее фокусов (±2√2;0) и эксцентриситет ε=2.

4. Составить уравнение директрисы параболы х²=-10у.

 

Вариант 18.

1. Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок прямой 4х + 3у - 24=0, содержащийся между осями координат.

2. Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, зная его уравнение 25х²+ 169у²=4225.

3. Составить уравнение гиперболы, если известны координаты ее фокусов (±3√3;0) и эксцентриситет ε=√6/2.

4. Составить уравнение директрисы параболы х²=4у.

 

Вариант 19.

1. Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок прямой 5х – 4у+40=0, содержащийся между осями координат.

2. Составить уравнение эллипса, если известны координаты ее фокусов (±7;0) и эксцентриситет ε;=0,28.

3. Составить уравнения асимптот гиперболы х²/64 – у²/36=1.

4. Вычислить координату фокуса параболы х²=-5у.

Вариант 20.

1. Составить уравнение окружности, касающейся оси абсцисс в точке А(2;0) и проходящей через точку В(-1;3).

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках (±√3;0), а эксцентриситет ε;=1/3.

3. Составить уравнения асимптот гиперболы х²/9 – у²/8=1.

4. Вычислить координату фокуса параболы х²=14у.

Вариант 21.

1. Найти расстояние между центрами окружностей х² + у²=16 и х² + у² – 12х + 11=0.

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках (±4;0), а эксцентриситет ε;=0,8.

3. Точки (√34;-5/3) и (5;4/3) лежат на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

4. Составить уравнение директрисы параболы у²=-9х.

Вариант 22.

1. Найти расстояние между центрами окружностей х² + у² – 4х – 12 =0 и х² + у² – 6у =0.

5. Найти координаты фокусов и расстояние между фокусами эллипса х²/10 + у²/26=1.

6. Составить уравнения асимптот гиперболы 4х² – 9у²=36 и найти координаты ее фокусов и эксцентриситет.

2. Составить уравнение директрисы параболы у²=8х.

Вариант 23.

1. Найти расстояние между центрами окружностей х² + у² – 10х +16у +80=0 и х² + у² + 6у +4у – 12 =0.

2. Найти координаты фокусов и расстояние между ними, если эллипс задан уравнением х²/12 + у²/3=1.

3. Составить уравнение равносторонней гиперболы, проходящей через точку (√10; -√6).

4. Вычислить координату фокуса параболы у²= -4х.

 

Вариант 24.

1. Найти расстояние между центрами окружностей х² + у² + 4х – 12у + 36=0 и х² + у² – 8у + 10у + 5 =0.

2. Составить уравнение эллипса, фокусами которого служат точки (0;±√3), а большая полуось равна 4√7.

3. Составить уравнение равносторонней гиперболы, проходящей через точку (√21; -2√3).

4. Вычислить координату фокуса параболы у²= 6х.

Вариант 25.

1. Найти расстояние между центрами окружностей х² + у² – 6х + 8у =0 и

х² + у² +2х – 12у + 1 =0.

2. Составить уравнение эллипса, фокусами которого служат точки (±2;0), а малая полуось равна 8.

3. Составить уравнение равносторонней гиперболы, фокусы которой совпадают с фокусами гиперболы 5х² – 3у²=60.

4. Найти координаты фокуса параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая у=-6.

Вариант 26.

1. Составить уравнение прямой, проходящей через центры окружностей х² + у² – 4х – 12 =0 и х² + у² – 6у=0.

2. Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 10 (фокусы лежат на оси Ох) и большая ось равна 12.

3. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку А(-2;0), если ее асимптоты заданы уравнениями у=±2х.

4. Найти координаты фокуса параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая у=4.

Вариант 27.

1. Составить уравнение прямой, проходящей через центры окружностей х² +у²–8х–4у +11=0 и х² + у² +4х +12у +4=0.

2. Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6 (фокусы лежат на оси Ох) и большая ось равна 10.

3. Составить уравнение гиперболы, если 2с=10√2, а ее асимптоты заданы уравнениями у=±3/4х.

4. Найти координаты фокуса параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х=-5.

Вариант 28.

1. Найти точки пересечения окружности х²+ у² – 8х – 2у – 8 =0 и прямой 4х + 3у =19.

2. Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках (±5;0), а фокусы – в точках (±3;0).

3. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, зная, что она проходит через точку М(9;-4) и полуось а равна 3.

4. Найдите точки пересечения парабол у²= 9х и х²= 9у.

Вариант 29.

1. Составить уравнение окружности, касающейся оси абсцисс в точке А(3;0) и имеющей радиус, равный 6.

2. Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках (±8;0), а фокусы – в точках (0;±6).

3. Составить уравнение гиперболы, если F(±3;0), а уравнения асимптот у=±√2х.

4. Дана парабола у²= 20х. Найти длину хорды, проходящей через фокус перпендикулярно ее оси.

 

Вариант 30.

1. Составить уравнение окружности, касающейся оси ординат в точке А(0;4) и имеющей радиус, равный 5.

2. Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках (±6;0), а фокусы – в точках (±4;0).

3. Сумма полуосей гиперболы равна 17, а эксцентриситет ε;=13/12. Составить уравнение гиперболы и найти координаты ее фокусов.

4. Найдите точки пересечения парабол у²= х и х²= у.

 

4. Задание по теме «Прямая и плоскость в пространстве»

 

5.1. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1) длину ребер А₁А₂ и А₁А₄;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) уравнение прямых А₁А₂ и А₁А₄;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄ ;

7) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃

8) угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄

9) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

Сделать чертеж.

 

1. А₁(4;2;5), А₂(0;7;2), А₃(0;2;7), А₄(1;5;0).

2. А₁(4;4;10), А₂(4;10;2), А₃(2;8;4), А₄(9;6;4).

3. А₁(4;6;5), А₂(6;9;4), А₃(2;10;10), А₄(7;5;9).

4. А₁(3;5;4), А₂(8;7;4), А₃(5;10;4), А₄(4;7;8).

5. А₁(10;6;6), А₂(-2;8;2), А₃(6;8;9), А₄(7;10;3).

6. А₁(1;8;2), А₂(5;2;6), А₃(5;7;4), А₄(4;10;9).

7. А₁(6;6;5), А₂(4;9;5), А₃(4;6;11), А₄(6;9;3).

8. А₁(7;2;2), А₂(5;7;7), А₃(5;3;1), А₄(2;3;7).

9. А₁(8;6;4), А₂(10;5;5), А₃(5;6;8), А₄(8;10;7).

10. А₁(7;7;3), А₂(6;5;8), А₃(3;5;8), А₄(8;4;1).

11. А₁(-1;2;1), А₂(-2;2;5), А₃(-3;3;1), А₄(-1;4;3).

12. А₁(-2;1;-1), А₂(-3;1;3), А₃(-4;2;-1), А₄(-2;3;1).

13. А₁(1;1;2), А₂(0;1;6), А₃(-1;2;2), А₄(1;3;4).

14. А₁(-1;-2;1), А₂(-2;-2;5), А₃(-3;-1;1), А₄(-1;0;3).

15. А₁(2;-1;1), А₂(1;-1;5), А₃(0;0;1), А₄(2;1;3).

16. А₁(-1;1;-2), А₂(-2;1;2), А₃(-3;2;-2), А₄(-1;3;0).

17. А₁(1;2;1), А₂(0;2;5), А₃(-1;3;1), А₄(1;4;3).

18. А₁(-2;-1;1), А₂(-3;-1;5), А₃(-4;0;1), А₄(-2;1;3).

19. А₁(1;-1;2), А₂(0;-1;6), А₃(-1;0;2), А₄(1;1;4).

20. А₁(1;-2;1), А₂(0;-2;5), А₃(-1;-1;1), А₄(1;0;3).

21. А₁(0;3;2), А₂(-1;3;6), А₃(-2;4;2), А₄(0;5;4).

22. А₁(-1;2;0), А₂(-2;2;4), А₃(-3;3;0), А₄(-1;4;2).

23. А₁(2;2;3), А₂(1;2;7), А₃(0;3;3), А₄(2;4;5).

24. А₁(0;-1;2), А₂(-1;-1;6), А₃(-2;0;2), А₄(0;1;4).

25. А₁(3;0;2), А₂(2;0;6), А₃(1;1;2), А₄(3;2;4).

26. А₁(0;2;-1), А₂(-1;2;3), А₃(-2;3;7), А₄(0;4;1).

27. А₁(2;3;2), А₂(1;3;6), А₃(0;4;2), А₄(2;5;4).

28. А₁(-1;0;2), А₂(-2;0;6), А₃(-3;1;2), А₄(-1;2;4).

29. А₁(2;0;3), А₂(1;0;7), А₃(0;1;3), А₄(2;2;5).

30. А₁(2;-1;2), А₂(1;-1;6), А₃(0;0;2), А₄(2;1;4).

5. Задание по теме «Поверхности второго порядка»

 

1. Установить, при каком значении m плоскость пересекает двуполостной гиперболоид по эллипсу.

2. Установить, при каком значении m плоскость пересекает двуполостной гиперболоид по гиперболе.

3. Установить, при каком значении m плоскость пересекает эллиптический параболоид по эллипсу.

4. Установить, при каком значении m плоскость пересекает эллиптический параболоид по параболе.

5. Установить, что плоскость пересекает гиперболический параболоид по эллипсу. Найти его полуоси и вершины.

6. Установить, что плоскость пересекает эллипсоид по параболе. Найти ее параметр и вершину.

7. Установить, что плоскость пересекает однополостной гиперболоид по гиперболе. Найти ее полуоси и вершины.

8. Определить, при каком значении m плоскость касается эллипсоида .

9. Найти точки пересечения поверхности и прямой .

10. Найти точки пересечения поверхности и прямой .

11. Найти точки пересечения поверхности и прямой .

12. Найти точки пересечения поверхности и прямой .

13. Вычислить радиус сферы, которая касается плоскостей , .

14. Составить уравнение сферы, которая касается двух параллельных плоскостей , , причем одной из них в точке М(5; -1; -1).

15. Составить уравнение сферы с центром О(5; -1; -1), которая отсекает от прямой , хорду, имеющую длину, равную 16.

16. Составить параметрические уравнения диаметра сферы , перпендикулярного к плоскости .

17. Составить канонические уравнения диаметра сферы , параллельного прямой .

18. Вычислить кратчайшее расстояние от точки А(-2; 6; -3) до сферы .

19. Вычислить кратчайшее расстояние от точки А(9; -4; -3) до сферы .

20. Вычислить кратчайшее расстояние от точки А(1; -1; 3) до сферы .

 

Литература