Здесьпредполагается, что дискретная случайная величина имеет изначений. Выражение (2.9) называется условием норми­ровки.

Случайной величиной является число очков, выпадающих на верх­ней грани игральной кости. Указать распределение этой случайной вели­чины (табл. 2).

Таблица 2

X
р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

Случайной величиной является номер вида спорта в игре «Спортло-10». Общее число видов равно 49. Указать распределение этой случайной величины (табл. 3).

Таблица 3

X				…
р	1/49	1/49	1/6	…	1/49

Биномиальное распределение. Пусть некоторое испытание проводится трижды и при этом событие А происходит I раз (I — случайная величина, которая при тройном испытании может при­нимать значения 0, 1, 2 и 3). Вероятность наступления события А равна Р(А); вероятность того, что событие А не происходит, т. е. имеет место противоположное событие А, равна [1 - Р(А)].

Значение 1 = 0 соответствует такому случаю, при котором трижды подряд событие А не происходило. Вероятность этого сложного события, по теореме умножения вероятностей (2.6), равна

Значение I = 1 относится к случаю, при котором событие А про­изошло в одном из трех испытаний. По формуле (2.6) получаем

Так как при l = 1 происходят также и два других сложных со­бытия: (А и А и А)и(А и А и А), то необходимо, воспользовав­шись теоремой сложения вероятностей (2.4), получить полную ве­роятность для l = 1, сложив трижды предыдущее выражение:

Значение I = 2 соответствует случаю, при котором событие А произошло в двух из трех испытаний. Рассуждениями, подобны­ми приведенным выше, получим полную вероятность для этого случая:

При 1 = 3 событие А появляется во всех трех испытаниях. Ис­пользуя теорему умножения вероятностей, находим

В общем случае биномиальное распределение позволяет опре­делить вероятность того, что событие А произойдет l раз при п испытаниях:

На основе многолетних наблюдений вызов врача в данный дом оце­нивается вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что в течение шести дней произойдет четыре вызова врача; Р(А) = 0,5, п = 6, 1 = 4. Т Воспользуемся формулой (2.10):

Числовые характеристики дискретной случайной величи­ны. Во многих случаях, наряду с распределением случайной ве­личины или вместо него, информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых ха­рактеристик случайной величины. Рассмотрим наиболее упот­ребительные из них.

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значе­
ний на вероятности этих значений:

Пусть при большом числе испытаний п дискретная случайная величина X принимает значения x_v x₂,..., х_п соответственно m_1, m_г,..., т_п раз. Среднее значение равно

Если п велико, то относительные частоты т₁/п, т₂/п,... будут стремиться к вероятностям, а средняя величина — к математиче­скому ожиданию. Именно поэтому математическое ожидание час­то отождествляют со средним значением.

Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­чины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2).

Используем формулу (2.11):

Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­чины, которая определяется тиражом «Спортлото» (см. табл. 3). Согласно формуле (2.11), находим

Возможные значения дискретной случайной величины рассеяны во­круг ее математического ожидания, часть из них превышает М{Х), часть — меньше М{Х). Как оценить степень разброса случайной величины отно­сительно ее среднего значения? Может показаться, что для решения та­кой задачи следует вычислить отклонения всех случайных величин от ее математического ожидания X - М(Х), а затем найти математическое ожидание (среднее значение) этих отклонений: М[Х - М(Х)]. Вез доказа­тельства отметим, что эта величина равна нулю, так как отклонения слу­чайных величин от математического ожидания имеют как положитель­ные, так и отрицательные значения. Поэтому целесообразно учитывать либо абсолютные значения отклонений М[Х — М (X)], либо их квадраты М[Х - М(Х)]². Второй вариант оказывается предпочтительнее, так при­ходят к понятию дисперсии случайной величины.

Дисперсией случайной величины называют математиче­ское ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Без вывода приведем удобную для вычисления дисперсии фор­мулу

Она означает, что дисперсия равна разности между математи­ческим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

Найти дисперсию случайной величины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2).

Математическое ожидание этого распределения равно 3,5. Запишем значения квадратов отклонения случайных величин от математического ожидания: (1 - 3,5)² = 6,25; (2 - 3,5)² = 2,25; (3 - 3,5)² = 0,25; (4 - 3,5)² = 0,25; (5 - 3,5)² = 2,25; (6 - 3,5)² = 6,25. По формуле (2.12) с учетом (2.11) няходим дисперсию:

Как следует из (2.12), дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для того чтобы оценивать расстояние случайной величины в единицах той же размерности, вводят понятие среднего квадратического отклонения, под которым понимают квадратный корень из дисперсии:

 

Распределение и характеристики непрерывной случайной величины. Непрерывную случайную величину нельзя задать тем же законом распределения, что и дискретную. В этом случае поступают следующим образом.

Пусть dP — вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значения между х и х + dx. Очевидно, что Ирм больше интервал dx, тем больше и вероятность dP: dP ~ dx. Шроме того, вероятность должна зависеть и от самой случайной Величины, вблизи которой расположен интервал, поэтому

 

где f(x) — плотность вероятности, или функция распределения вероятностей. Она показывает, как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от значения самой этой величины:

 

Интегрируя выражение (2.15) в соответствующих пределах, находим вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (ab):

 

Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид

Как видно из (2.19), эта функция равна вероятности того, что случайная величина принимает значения, меньшие х:

 

Для непрерывной случайной величины математическое ожи­дание и дисперсия записываются соответственно в виде