Студопедия — Линейные нормированные пространства
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Линейные нормированные пространства






Линейные нормированные пространства и

Всюду ниже Х – векторное пространство над полем К (К = , ).

Определение. Пусть . Выражение

называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами .

Определение. Конечная система называется линейно независимой, если равенство

возможно лишь при . В противном случае она называется линейно зависимой.

Определение. Бесконечная система векторов из называется линейно независимой, если каждая ее конечная подсистема линейно независима.

Определение. Пусть – векторные пространства над полем К. Отображение называется изоморфизмом векторных пространств, если оно

1) биективно;

2) линейно, т.е. удовлетворяет тождеству

Определение. Пусть . Отрезком в Х с концами х и у называется множество

.

Определение. Подмножество называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками х и у оно содержит и весь отрезок [ x,y ].

Теорема-определение. Пусть - подпространство пространства . Семейство , состоящее из множеств вида

,

является векторным пространством относительно операций

Оно называется факторпространством пространства Х по подпространству М.

Определение. Отображение называется нормой, если она обладает следующими свойствами:

1) ;

2)

3)

Часто вместо пишут .

Определение. Если в предыдущем определении заменить аксиому 1) более слабой:

то получим определение полунормы.

Определение. Векторное пространство Х, наделенное норомой, называется нормированным.

Каждое нормированное пространство становится метрическим при наделении его естественной метрикой

.

Таким образом, к нормированным пространствам применимы все понятия и результаты теории метрических пространств.

Определение. Две нормы p и q в векторном пространстве Х называются эквивалентными, если существуют такие положительные числа a и b, что при всез х из Х выполняются неравенства

 

3.1.1. Проверить, является ли функция p полуноромой, нормой в пространстве X (таблица 3.1.1).

 

Таблица 3.1.1

 

Вариант X p(x)
1 2 3
 
 
 

 

 

Окончание таблицы 3.1.1

 

1 2 3
 
 
 
   
 
 
 

 

3.1.2. Является ли множество А выпуклым в пространстве X (таблица 3.1.2)?

 

Таблица 3.1.2

 

Вариант X A
1 2 3
  неубывающие функции
 
  многочлены степени n
   
  многочлены степени k
 

 

Окончание таблицы 3.1.2

 

1 2 3
 
 
 
 

 

3.1.3. Проверить, является ли последовательность векторов в пространстве X линейно независимой (таблица 3.1.3).

 

Таблица 3.1.3

 

Вариант X
 
 
 
 
  функция Дирихле
 
 
 
 
 

3.1.4. Привести пример последовательности , которая сходится в X, но не сходится в Y, если пространства X и Y наделены естественными нормами (таблица 3.1.4).

 

Таблица 3.1.4

 

Вариант X Y Вариант X Y
   
   
   
   
   

3.1.5. Являются ли нормы p и q эквивалентными в пространстве E (таблица 3.1.5)?

 

Таблица 3.1.5

 

Вариант E p q
 
 
 
  с
 
 
 
 
 
 

3.1.6. Построить изоморфизм между факторпространством L/M и

одним из стандартных линейных пространств (таблица 3.1.6).

Таблица 3.1.6

 

Вариант L M
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 598. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТРАНСПОРТНАЯ ИММОБИЛИЗАЦИЯ   Под транспортной иммобилизацией понимают мероприятия, направленные на обеспечение покоя в поврежденном участке тела и близлежащих к нему суставах на период перевозки пострадавшего в лечебное учреждение...

Кишечный шов (Ламбера, Альберта, Шмидена, Матешука) Кишечный шов– это способ соединения кишечной стенки. В основе кишечного шва лежит принцип футлярного строения кишечной стенки...

Принципы резекции желудка по типу Бильрот 1, Бильрот 2; операция Гофмейстера-Финстерера. Гастрэктомия Резекция желудка – удаление части желудка: а) дистальная – удаляют 2/3 желудка б) проксимальная – удаляют 95% желудка. Показания...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия