Примеры решения типовых задач. 1. Найти сопряженный к оператору в гильбертовом пространстве .1. Найти сопряженный к оператору Пример 1. Решение. Воспользуемся тем фактом, что
Другими словами,
В данном случае 1) В этом случае утверждение « 2) В этом случае утверждение «
2. Найти сопряженный к оператору Пример 1. Решение. В данном пространстве скалярное произведение задается следующим образом:
Следовательно,
Поскольку полученное выражение должно равняться
3. Если это возможно, приведите пример самосопряженного оператора Пример 1. Решение. Рассмотрим оператор Пример 2. Ответ: Данное множество не может быть точечным спектром самосопряженного оператора. Указание. Необходимо воспользоваться свойством спектра самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.
|
в гильбертовом пространстве 
.
.
тоже является интегральным оператором, причем для ядер операторов 
и 
выполняется соотношение
. (1)
.
, если 
находится между 
и 
, и 
в остальных случаях. В силу (1) должно выполняться 
, если 
и 
, и 
в остальных случаях. Возможно 2 случая:
. Тогда 
.
, т. е. тому, что 
и 
. Отсюда 
(объясните последнее равенство).
. Тогда 
.
, т. е. тому, что 
и 
. Отсюда 
(мы воспользовались тем, что 
). Поэтому
.
в гильбертовом пространстве 
с весом 
, где 
.
.
.
.
, то в силу единственности сопряженного оператора имеем
.
в гильбертовом пространстве, точечный спектр которого совпадает с данным множеством 
.
.
в пространстве 
. Несложно проверить (сделайте это), что он является самосопряженным, и точечный спектр его совпадает с данным множеством 
.
.
