1. 4.1. Соотношения между суммарными, средними и предельными величинами в экономике ( Самостоятельно по лит. Курс экономической теории. Под ред. Сидоровича. Учебник МГУ [50] ).
Все множество технико-экономических показателей можно
подразделить на:
• абсолютные показатели, выражаемые в количественных, объемных или денежных единицах и подразделяющиеся на потоковые (величины за определенный временной период) и запасо-
вые (величины на определенную дату или момент времени);
• относительные показатели, представляющие собой отношения абсолютных (или других относительных) показателей, т. е. количество единиц одного показателя на одну
единицу другого, причем не только соотношения разных
показателей на один и тот же момент времени, но и одного и того же показателя в разные моменты времени
(темпы роста данного показателя).
В экономическом анализе и принятии решений в одних ситуациях важны абсолютные показатели, в других — относительные, в третьих — их сочетание.
Как правило, при комплексном анализе экономических ситуаций для выбора наилучшего решения важны разнообразные
показатели, как абсолютные, так и относительные, причем последние могут выступать как средние (например, величина соответствующего показателя (прибыли, издержек, выручки и др. в
расчете на единицу выпуска) и предельные (прирост соответствующего показателя в расчете на единицу прироста выпуска)
величины. Если, к примеру, средняя выручка превышает средние издержки, то субъект хозяйствования получает прибыль и
производить продукцию ему выгодно. Если при этом предельная выручка превышает предельные издержки, то ему выгодно рас-
ширять производство, увеличивая объем прибыли. Соответственно, если средние издержки превышают среднюю выручку, то
субъект хозяйствования терпит убытки, а если предельные издержки превышают предельную выручку, то объем производства
нужно сокращать.
Далеет будут подробно рассмотрены проблемы анализа и особенности управленческого учета субъектов рынка с рас-
четом всех указанных показателей. Приведем формальные определения суммарных, средних и предельных величин.
Суммарная величина F (x) — любая функция независимой переменной F (x). Как правило, в экономике под суммарными величинами понимают абсолютные величины, в роли которых вы-
ступают следующие: доход (выручка) R (Q) или издержки C (Q)
как функции объема выпуска Q, объем выпуска как функция от
количества переменного ресурса, например, труда Q(L), полезность как функция количества потребляемого блага U (x) и др.
(любая из перечисленных функций может быть задана формулой, таблицей или графиком).
Средняя величина A F (x) определяется как отношение суммарной величины F (x) кнезависимой переменной х, т. е.
A F (x) = F (x) / х,
где буква А — сокращение английского Average (средняя).
Средняя величина обозначается так же, как F. Пример средних
величин в экономике — это среднедушевой объем потребления,
средняя фондоотдача, средняя выручка (доход) AR = R (Q)/ Q, средние-
нинн издержки АС = C (Q)/ Q, средний продукт труда AQL = Q(L)/L и
др. (средняя величина как функция независимой переменной также
может задаваться в виде формулы или графика, рис. 4.3. а).
Маржинальная, или предельная, величина M F (x) определяется
как производная суммарной величины F (x) по независимой переменной х, т. е.
M F (х) = F '(x), если х — непрерывная величина;
M F (х) =Δ F /Δх, если х — величина дискретная.
Рис. 4.3. Соотношения между суммарными (а), средними (б)
и предельными величинами в экономике.
Примерами предельных величин в экономике могут быть на-
званы перечисленные выше показатели, применимые ксредним
величинам.
Найти маржинальную величину по суммарной величине (для
непрерывного случая) можно на базе формулы:
M F (x) = F '(x).
Если, например, F (х) = ах — bx 4, то M F (х) = а — 4bx 3.
Если суммарная величина задается выпуклой кривой F (x) в
виде графика, то необходимо через точку А графика суммарной
величины, имеющую координаты [ х, F (x)], провести касатель-
ную к графику. Тангенс угла наклона касательной кграфику
суммарной величины численно равняется производной суммарной величины, и следовательно, является предельной величиной
M F (x) = F (x) = tg a (рис. 4.3.б).
Если необходимо найти суммарную величину по маржинальной величине, то применяется операция интегрирования
F (x) = 
. Например, если
M F (x) = а - bx 2, то F (x) =
= ах - b 3/3+ С, где С - произвольная постоянная.
Если предельная величина задана графиком, то площадь под
графиком функции предельной величины в диапазоне измене-
ния независимой переменной от нуля до х равняется суммарной
величине минус постоянная С (рис. 4.3.в).
в - нахождение суммарной величины по средней; г(д) - соотношение между
графиками средних и предельных издержек АС и МС (продуктов труда АР и
МР); е(ж) - соотношения между предельными, средними и суммарными вели-
чинами для рыночной структуры совершенной конкуренции (монополии), R - -
доход; С - издержки; П - прибыль; Q - объем выпуска.
Соотношения между средними A F, суммарными F и маржи-
нальными (предельными) M F величинами независимой непрерыв-
ной переменной х находятся легко: например, если задана сред-
няя величина A F (x), то суммарная величина F (x) = х A F (х), а
предельная величина М F (х) = F '(х) = (хA F (х))' = A F (x) + хA F '(х).
Аналогичным образом можно выразить среднюю величину через
суммарную величину: A F (x) = 1/ х * . Примеры соотношения между графиками средних АС и предельных МС издержек среднего АРL и предельного МРL продуктов труда приведены на рис. 4.3.г, д.
Если же независимая переменная х может принимать только
дискретные значения (например, количество выпуска штучной
продукции, количество рабочих и т.п.), то все полученные выше
соотношения сохраняют свой вид при следующих условиях:
а) производная функция F '(х) заменяется соотношением
Δ F /Δ х;
б) интеграл заменяется на конечную сумму 
;
в) касательная кграфику функции F (х) заменяется прямой линией, проходящую через две точки с координатами (х, F (х) и (х +Δ х, F (х +Δ х)).
Соотношение между средними и предельными величинами в
дискретном случае имеет простую интерпретацию: если ученик
— «ударник» получает только «хорошо», то его средняя оценка также «хорошо». Каждая последующая оценка может интерпретироваться как предельная оценка, при этом если он получает
только «отлично», то его средняя оценка постепенно повышается, а если — лишь «удовлетворительно», то предельная оценка
станет ниже средней и его средняя оценка понизится.
Анализ показателей и их соотношений как предельных, средних
и суммарных величин, характеризующих работу субъекта рынка.
Если в качестве примера соотношений между предельными,
средними и суммарными величинами рассмотреть показатели,
характеризующие работу одного и того же субъекта рынка, работающего по законам:
а) совершенно конкурентной фирмы,
б) фирмы-монополиста, то можно констатировать следующее
(для понимания рассуждений введем ряд обозначений показателей:
Q — объем выпуска продукции; р — цена; R = р (Q) 
Q — доход
(выручка); С — издержки; П = R — С — прибыль, q — величина
спроса).
1. Если субъект рынка выступает как совершенно конкурент-
ная фирма, то цена на ее продукцию постоянна и не зависит от
объема производства данной фирмы, определяясь рынком, т. е.
р (Q) = р, и, следовательно, R (q) = рQ. Доход является линейной
функцией объема выпуска. Для типичной функции издержек,
растущих быстрее, чем доход при малых объемах выпуска, гра-
фики дохода R (q), издержек C (Q) и прибыли П(Q) имеют вид
(рис. 4.3, е). По ним можно построить графики средних и пре-
дельных величин. Так как MR = (pQ)'= р = pQ / Q = АR, то графики среднего и предельного доходов имеют вид прямой, параллельной оси Q.
График средних издержек совпадает с графиком среднего дохода при объемах выпуска Q 2 и Q 4 (так как в этих точках значения
функций C (Q) и R (Q) совпадают), лежит выше его при Q < Q 2 и
Q > Q 4 (из C (Q) > R (Q) — + АС (Q) = C (Q) / Q > R (Q) / Q = MC (Q)
и лежит ниже его при Q 2 < Q < Q 4. В точке, лежащей чуть ниже
Q3, средние издержки минимальны. Эту точку можно найти, про-
водя из начала координат прямую, касающуюся графика C (Q).
График предельных издержек можно построить, анализируя
изменение наклона касательной к графику C (Q). В точках Q 1 и
Q 3 касательная к графику C (Q) параллельна графику дохода
R (Q). Следовательно, в этих точках предельные издержки совпадают с предельным доходом, и имеет место минимум прибыли
(максимум убытков) в точке Q 1 и максимум прибыли в точке Q 3
(П' = R' - С' = MK - MC = 0), так как прибыль положительна при объеме выпуска Q 2 < Q < Q4 и отрицательна при Q < Q 2 и Q > Q 4. Величину прибыли при оптимальном объеме выпуска Q 3
можно найти как площадь заштрихованного прямоугольника по
графикам средних издержек и среднего дохода (вершины этого
прямоугольника находятся в точках с координатами: А (Q з, р); B (0, АС (Q з)); С (0, АС (Q з)); D (0, Р)).
2. Если субъект рынка выступает как монопольная фирма, то
она сама выбирает цену исходя из кривой спроса p (Q) на ее
продукцию. Так как p (Q) — убывающая функция, то р '(Q) < 0.
При той же функции издержек, что и в первом случае, графики
суммарных, средних и предельных показателей приведены на
рис. 1.3, ж, при этом графики суммарных, средних и предельных
издержек имеют аналогичный первому случаю вид.
График среднего дохода АR = р (Q) • Q / Q = р (Q) совпадает с
графиком функции спроса и пересекает график средних издер-
жек в точках Q2 и Q 4, где R (Q)= C (Q). График предельного дохо-
да лежит ниже графика среднего дохода при любых объемах выпуска,
так как MR = R'(Q) = p (Q) + Qp '(Q) = AR+ Qp '(Q) < AR и р '(Q) < 0 и
пересекает график предельных издержек в точках Q 1 и Q 3, в ко-
торых касательные к графикам дохода и издержек имеют одина-
ковый наклон. При этих объемах выпуска прибыль, как и в первом случае, принимает минимальное и максимальное значения со-
ветственно. Это обусловлено тем, что необходимое условие максимума прибыли записывается аналогично как П' = R' - С'= =MR-
MC = 0, и в оптимальной точке предельный доход обязатель-
но равен предельным издержкам. Аналогично первому случаю
прибыль на графиках средних и предельных величин можно определить как площадь заштрихованного прямоугольника, построенного между графиками среднего дохода и средних издержек, при этом вершины прямоугольника находятся в точках:
А (0, АR (Q з)) В (0, АС (Q з)); С (0, АС (Qз)); D (0, АR (Q з)).
Таким образом, при определении оптимального объема производства фирмы, если известны ее функции суммарного дохода
и издержек R (Q) и C (Q) (предполагается, что эти функции дифференцируемы), средние и предельные показатели могут быть
использованы следующим образом:
а) вначале находятся точки, в которых величина предельного
дохода равна величине предельных издержек, т. е. MR (Q) = MC (Q);
если таких точек нет, то фирме либо невыгодно производить
вообще продукцию (при R (Q) < C (Q)), либо выгодно сколько
угодно наращивать объем производства (при R (Q) > C (Q));
б) в найденных точках может достигаться максимум прибы-
ли, максимум убытка, минимум прибыли, минимум убытка, ли-
бо ничего из перечисленного; поэтому далее среди этих точек
находятся те, в которых функция прибыли П (Q) = R (Д) - C (Q)
достигает максимума (ее производная меняет знак с плюса на
минус). Эти точки являются точками максимума прибыли или
минимума убытка;
в) необходимо выбрать точки (точку), где величина прибыли
положительна; признаком этого может быть превышение сред-
него дохода над средними издержками: AR (Q) > MR (Q). Если
такая точка найдена, то она является точкой (локального) максимума прибыли фирмы.
Рассмотрим особенности моделей полезности и производст-
венных функций. и их применения в экономических задачах.
назад
