ПСИХОЛОГИЯ СЕМЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ. Премьера 13.04.2012 года. 16 страница

Конфирматорный факторный анализ

Л,

Полное изучение этой темы выходит за рамки данного текста. Цель этого раздела — просто указать на то, что существует такой метод, и дать пример его использования. В то время как основная цель исследовательского факторного анализа заключается в опре­делении (путем вращения факторов и достижения простой струк­туры) количества и природы факторов, которые лежат в основе данных, конфирматорный факторный анализ (как следует из его названия) проверяет гипотезы или, скорее, позволяет пользова­телю выбрать между несколькими конкурирующими гипотезами, описывающими структуру данных. Например, предположим, вас заинтересовало использование опросника, измеряющего отноше­ние к питанию. В результате обзора литературы вы можете устано­вить, что в части предшествующих исследований утверждается, что 10 из 20 заданий формируют один фактор, а оставшиеся 10 зада­ний формируют другой фактор, и корреляция этих факторов рав-

на 0,4. Другая часть исследований с применением того же теста может указывать на то, что все 20 заданий теста формируют один фактор. Принципиально важно узнать, которое из этих утвержде­ний правильно. В результате первого у каждого человека будут вы­числены две оценки, в то время как второе будет приводить толь­ко к одной оценке. Для того чтобы определить, какая из этих кон­курирующих моделей лучше всего соответствует данным, можно использовать конфирматорный факторный анализ.

Для конфирматорного факторного анализа можно использо­вать модели либо исследовательского факторного анализа, либо метода главных компонент. Однако почти все исследования бази­руются на моделях исследовательского факторного анализа, где устаналиваются общности каждой переменной. В действительности можно выполнить иерархический факторный анализ и проверить огромный диапазон моделей, используя эту методику. Хорошее описание конфирматорного факторного анализа и источника его происхождения — моделирования с помощью линейных струк­турных уравнений дается, в частности, в работах Лонга (Long, 1983), Лоелина (Loehlin, 1987) и Комрея и Ли (Comrey, Lee, 1992, ch. 12, 13). Клайн (Kline, 1994) и Чайлд (Child, I990) предлагают более простое введение в эту проблему.

Ряд компьютерных программ.был написан для выполнения кон­фирматорного факторного анализа. Наиболее известная из них — LISREL — разработана Карлом Йорескогом, статистиком, который изобрел этот метод. EQS (Bentler, 1989) — другая программа, кото­рая, по-видимому, проще для использования, чем LISREL. Поскольку конфирматорный факторный анализ — одна из простейших форм моделирования с помощью линейных структурных уравнений, лю­бая программа такого типа должна выполнять этот анализ,

Конфирматорный факторный анализ рассматривает базисные данные (тестовые оценки, ответы на задания теста, физиологи­ческие показатели и т.д.) как вызванные или обусловленные од­ним (или более) фактором (часто называемым «латентной пере­менной»). Таким образом, может быть составлен ряд уравнений, каждое из которых предположительно показывает, какой фактор (факторы) влияет на какую переменную (переменные).

Например, предположим, мы постулируем наличие двух фак­торов — общего интеллекта (g) и тестовой тревоги (ТА). Предпо­ложим также, что оценки по некоему тесту (тест 1) находятся яод влиянием обоих этих факторов, но влияние общего интеллекта

больше, чем влияние тестовой тревоги. Мы можем представить это в виде простого уравнения типа:

Тест 1 - 0,8 х g + 0,1 х ТА + уникальная дисперсия.

Числа 0,8 и 0,1 показывают степень связи между переменными и каждым фактором — факторные нагрузки. Каждое из этих чисел может быть:

• определено непосредственно в виде числа (как в приведен­ном выше примере);

• установлено с помощью компьютерной программы;

• принято равным другим величинам, которые уже установле­ны. Например, можно считать, что все тесты находятся под влиянием тестовой тревоги в равной, но неизвестной степе­ни. (Такая возможность выбора на практике может быть про­блематичной.)

В конфирматорном факторном анализе обычно уравнение пи­шется для каждой переменной, показывая, какой фактор (или факторы) предположительно влияет на показатели по этой пере­менной, хотя, как правило, не устанавливается размер нагрузок. Любые факторные нагрузки, которые не определены, принимаются равными 0. Необходимо указать также на то, что дисперсия каждого фактора равна 1,0. Затем компьютерная программа устанавливает наилучшие возможные значения для каждой из нагрузок и также вычисляет статистики, показывающие, насколько полно постули­руемая структура соответствует реальным данным. Обычная практи­ка состоит в том, чтобы попытаться применить несколько различ­ных моделей и выбрать одну, которая дает наибольшее соответствие, т.е. ту, которая лучше всего подтверждается данными.

Лоелин (Loehlin, 1987) приводит подробное обсуждение того, как интерпретировать различные показатели соответствия модели. Хотя показатели соответствия полезны для того, чтобы сделать выбор между конкурирующими моделями, они не особенно эф­фективны для выработки абсолютных критериев соответствия оп­ределенной модели. Это означает, что методика не способна с лег­костью установить, будут ли выявлены в полученных данных ка­кие-либо определенные паттерны факторов и факторных нагрузок, но она может быть полезна при выяснении степени конкурентос­пособности этих моделей.

Обычно практикуется представлять связи между переменны­ми, общими факторами и уникальными факторами с помощью

Рис. 15.5. Диаграмма путей, демонстрирующая, как два коррелирующих фактора (F1 и F2) влияют на значения шести наблюдаемых переменных (от VI до V6). Представлены также уникальные дисперсии переменных-(от U1 до U6).

диаграммы, называемой «диаграмма путей». Пример должен сде­лать это более понятным.

На рис. 15.5 представлены два фактора F1 и F2, каждый из которых, предположительно, влияет на переменные (от VI до V6), на числа пока не обращайте внимания. Вы можете заметить, что V4 находится под влиянием обоих факторов, а на другие перемен­ные влияет только один из них. На диаграмме показаны также уни­кальные дисперсии каждой переменной (от U1 до U6). Каждая линия, связывающая фактор с наблюдаемой переменной, имеет стрелку на одном конце, указывающую, что по допущению фак­тор обусловливает определенную наблюдаемую переменную (а не наоборот). Кривая, соединяющая фактор 1 и фактор 2, представ­ляет корреляцию, т.е. факторы 1 и 2 коррелируют между собой. Таким образом, эта диаграмма соответствует облическому фак­торному решению.

Числа, расположенные на каждой из линий, представляют со­бой числовые значения факторных нагрузок (в матрице фактор-

Таблица 15.3

Матрица факторной модели, эквивалентная диаграмме путей, помещенной на рис. 15.5

Переменные	Фактор 1	Фактор 2	Аг
VI	0,8	0,0	0,64
V2	0,7	0,0	0,49
V3	0,8	0,0	0,64
V4	0,6	0,5	0,61
V5	0,0	0,7	0,49
V6	0,0	0,7	0,49

ных паттернов), или, если это кривая линия, такие числа обозна­чают корреляции между этими факторами. Однако в большинстве случаев все числа будут установлены программой. Так, диаграмма путей на рис. 15.5 соответствует матрице факторных паттернов, представленной в табл. 15.3.

Несколько других вероятных диаграмм путей может быть пост­роено на основе теории или предшествующего исследования, и каждую можно проверить, чтобы определить, насколько полно она соответствует данным. Таким способом исследователь может осуществить выбор между различными теоретическими конкури­рующими моделями. Однако здесь существует определенный риск, связанный с использованием этих методов. Слишком легко пус­титься в «рискованное предприятие», модифицируя модель снова и снова, чтобы улучшить уровень ее соответствия, независимо от ее психологического правдоподобия. Действительно, компьютер­ные пакеты EQS и LISREL одобряют эту практику, подсказывая, какие части модели нуждаются в модификации. Однако компью­терная программа ничего не знает о психологии или теории фак­торного анализа и нередко будет предлагать что-то, лишенное смыс­ла, допуская, например, чтобы уникальные вариативности раз­личных переменных коррелировали между собой. Такая модель может исключительно хорошо соответствовать данным, получен­ным на определенной выборке, и тем не менее иметь мало психо­логического смысла (и маловероятно, что она будет воспроизведе­на на других выборках). Однако всегда, когда есть необходимость выбора между конкурирующими теоретическими моделями, кон-

фирматорный факторный анализ может оказаться очень полезным инструментом.

Представленное выше описание было намеренно упрощено, и читатели, которые собираются использовать этот метод, прибегая к другим источникам, должны усвоить:

• что этот анализ обычно проводится на материале ковариа-ций, а не корреляций

и

• что именно подразумевается под «идентификацией» модели.

Резюме

Факторный анализ — это исключительно полезный метод для про­яснения связей между некоторым количеством переменных, из­меренных в интервальноу шкале или шкале отношений. Он может быть применен к любым данным такого рода — от физических или физиологических показателей до заданий опросников. В этой главе было описано, как проводить технически обоснованный факторный анализ, и были четко обозначены некоторые общие ошибки, иног­да проникающие в публикуемые статьи. Наконец, в ней был пред­ставлен конфирматорный факторный анализ как полезный метод для выбора между различными конкурирующими факторно-ана­литическими моделями.

Предложения

по дополнительному чтению

Их дано достаточно много в тексте. Книги Чайдда (Child) и Клайна (Kline) наиболее просты, книги Горсача (Gorsuch) и Комрея (Comrey) также весьма приемлемы для читателей, не имеющих математической подготовки.

Ответы на задания по самопроверке

15.1. В связи с этим предложением возникают проблемы, наиболее очевидная из которых состоит в том, что «место жительства» — это переменная, которая не может быть измерена по шкале ин­тервалов. Когда устанавливаются числовые коды, полностью произвольным является присвоение «1» Корнуоллу или Камб-

рии, поэтому коды не образуют какую-либо шкалу. Следователь­но, они должны быть исключены из факторного анализа. (Чтобы выявить различия в математических способностях между уча­щимися графств, вы могли бы предложить коллеге вычислить факторные оценки по каждому из факторов, а затем провести анализ вариативности, используя «графство» как межиндивиду­альный фактор.)

Другая проблема состоит в том, что в анализ включено больше переменных, чем имеется испытуемых в выборке. Таким обра­зом, хотя количество испытуемых больше, чем «магическое» число 100, эти данные не годятся для факторного анализа. Вы могли бы предложить вашей коллеге собрать несколько больше дан­ных, для того чтобы увеличить размер выборки по крайней мере до 150. Полезно было бы предупредить ее также о тех пробле­мах, которые связаны с факторизацией дихотомических данных, когда единственно возможным ответом является 0 или 1. Если обнаружится, что задания коренным образом отличаются по сте­пени сложности (которая отражается в пропорции индивидуу­мов, правильно отвечающих на каждое задание), вы могли бы обратиться к литературе с целью поиска альтернатив корреля­ции Пирсона, которые подходят для факторного анализа. Наконец, вам было бы полезно проверить вместе с вашей кол­легой, что детям было дано достаточно времени, чтобы попы­таться решить все задания теста, и установить, кодировались ли задания, которые они не пытались решить, так же как и задания, которые решены неправильно, или этим заданиям давали осо­бый код и рассматривали их как отсутствующие данные. Если заданиям, которые дети не пытались решить, давали такой же код, "ак и «неправильному ответу» (например, "О»), становится ясным, что могут возникнуть проблемы в том случае, если не всем детям удалось закончить тест в отведенное время. Зада­ния, расположенные в конце теста, будут казаться более труд­ными, чем они есть на самом деле, просто потому, что только некоторым детям удастся дойти до них. В подобных обстоятель­ствах, возможно, было бы лучше просто проанализировать пер­вые 50 заданий (или около того), в таком случае отпадает необхо­димость собирать дополнительные данные, поскольку выборка из 100 испытуемых была бы адекватна такому числа заданий.

15.2. Три и четыре. Вам следует, вероятно, выделить три фактора, имея в виду, как было установлено, что тест «каменистой осы­пи» действует лучше, чем метод Кайзера—Гуттмана.

15.3. Простая структура — показатель того, насколько точно каждый фактор проходит через кластер переменных. Предположим, что факторы сохраняют положение под прямыми углами, представ-

ляя ортогональное вращение. Если с помощью вращения была достигнута простая структура, то каждый фактор будет иметь несколько высоких корреляций (выше 0,4 или ниже -0,4) между некоторыми переменными и корреляции, которые близки к нулю (например, плюс/минус 0,1) между всеми остальными. При этом должно быть очень немного корреляций средней величины в диапазоне плюс/минус 0,1-0,4. Если также проанализировать строки факторной матрицы, то каждая переменная должна иметь большую нагрузку только по одному или двум факторам. В зна­чительной степени такое же положение существует для вариан­тов облического вращения (в котором факторы расположены не под прямым углом) за исключением того, что «матрица фактор­ных паттернов», которая используется, чтобы определить про­стоту решения, не содержит корреляций между переменными и факторами, хотя интерпретируется таким же образом. Поскольку исходная позиция факторов по отношению к пере­менным, по сути, произвольна, то если не проводилось враще­ние, приводящее к простой структуре, различные исследовате­ли будут сообщать о весьма разных результатах. Таким обра­зом, важно обеспечить стабильную идентификацию факторов, получаемых в разных исследованиях.

-, - -• '•....... ' ':,:'

15.4. Факторный анализ будет показывать природу и степень пере­крытия между оценками теста и, вероятно, приведет к появле­нию нескольких факторов, измеряющих личностные особеннос­ти и/или способности. Оценки можно вычислить для соискателя по каждому из этих факторов («факторные оценки»), и каждая из этих факторных оценок может быть валидизирована таким же способом, как валидизируются тесты и как это было показано в главе 13. Например, за соискателями могут вести тщательное наблюдение и коррелировать их факторные оценки с показателя­ми продуктивности, или рангами, которые им выставляет инспек­тор за выполнение работы. Чтобы определить любые различия в факторных оценках между разными группами рабочих, например тех, кто медленнее продвигается по службе, или тех, которые уво­лились может быть использована ANOVA. Если некоторые из факторных оценок действительно окажутся полезными в процессе отбора, тесты, имеющие высокие нагрузки по этим факторам, с пользой могут быть сохранены. Те же, кото­рые не будут нагружать ни один из полезных факторов, можно, вероятно, изъять из батареи оценок.

 

ТЕОРИЯ СЛОЖНОСТИ ЗАДАНИЙ*

Общая картина

Эта глава представляет подход, полностью отличный от оцен­ки способностей с помощью тестовых баллов, — подход, который не требует использования норм и даже не настаивает на том, что­бы респонденты выполняли одни и те же тесты. Как следует из названия, эта методика учитывает, каким образом люди отвечают на отдельные задания в тесте, а не их общие оценки. Она есте­ственным образом приводит к специально разработанному «поша­говому» тестированию, в котором трудность предъявляемых зада­ний подбирается в соответствии с уровнем способностей каждого индивидуума; это требует, естественно, предъявления заданий те­ста с помощью компьютера, и это — одно из наиболее впечатля­ющих недавних достижений психометрики. «

Главы, рекомендуемые для предварительного чтения

11 и 12.

До сих пор мы полагали, что общая оценка человека по психо­логическому тесту обеспечивает лучшее измерение его способнос­тей или наличия у него какой-либо особенной личностной черты.

* В книге К. Купера эта глава называется «Item response theory» — «Теория ответов на задания», что в переводе на русский язык не имеет научного содержа­ния. Поэтому мы сочли возможным озаглавить эту часть, исходя из смысла изла­гаемого в ней психодиагностического подхода. (Прим. перев, и науч. ред.)

Нам настолько привычна процедура суммирования количества за­даний, на которые получены правильные ответы (или общего под­счета баллов по шкалам Ликерта), и сравнение этих оценок с нор­мами для интерпретации их значения, что бывает трудно увидеть ошибочность некоторых методов обработки, тестов и способы их усовершенствования.

Проблема, связанная с использованием обшей оценки в каче­стве показателя способностей, состоит в том, что тот, кто отвеча­ет правильно на четыре легких задания, но оказывается не в со­стоянии решить все трудные, заканчивает тест с таким же резуль­татом, как и тот, кто (преодолевая скуку?) правильно отвечает на одно легкое задание и на три трудных, что представляется невер­ным, поскольку общая оценка полностью игнорирует информа­цию (легко получаемую) о трудности каждого задания теста. Ин­дивидуумы получат высокий балл при наличии легкого теста и низкий балл, если им дадут трудный тест, хотя они обнаруживают одни и те же способности в каждом тесте. Все это и делает необхо­димым использование норм.

Разумеется, существует немало альтернатив вычислению об­щей оценки как показателя способностей человека. Если уровни трудности («р-значения», т.е. пропорция индивидуумов, выпол­няющих задания) известны, можно, конечно, использовать р-зна­чения наиболее трудного задания, на которое был получен пра­вильный ответ (или р-значения самого легкого задания, на кото­рое ответили неправильно), как показатель способностей. В качестве альтернативы можно вычислить среднюю трудность заданий, на которые были даны правильные ответы. Существует множество возможностей, большая часть которых остается неисследованной в литературе.

(а) Определите общий балл и другие три показателя способностей для испытуемого 2.

Задание для самопроверки 16.1

Цель этого упражнения — побудить вас задуматься над тем, каким образом статистические характеристики, иные, нежели общая оцен­ка, могут отразить уровень способностей человека; они включают одну характеристику, базирующуюся на трудности самого сложного зада­ния из решенных, и другую, базирующуюся на самом легком зада­нии, которое не удалось решить. В приведенной таблице показаны ответы двух индивидуумов на девять заданий теста, которые предъяв­лялись большой выборке людей. Р-значения показывают долю лю­дей, которые ответили на каждое задание правильно.

Задание	' 1	2 3 4	5 6
^-значение 0,9	0,1 0,4 0,5	0,7 0,4	0,3 0,8 0,3
Исп. 1		0 1 0	1 0	0 1 0
Исп.2			0 0	0 1 0
	Общий показатель	/ - мин. р-зна- 1 — макс, р-зна-чение правильных чение неправильных	/ - среднее р-зна-чение правильных
	решении	решении	решении	решении
Исп. 1	4 '	1 - 0,4 = 0,6	1 -0,5 = 0,5	2,8 1-— = 0,30 4
Исп.2

(б) Почему может быть нецелесообразно оценивать способности на основе критерия, ориентированного на «самое трудное решенное задание» или на «самое легкое нерешенное задание»?

Проблема заключается в том, что очень большое число показа­телей может быть подсчитано на основе данных, представленных в задании 16.1. Как решить, какой из показателей следует исполь­зовать? Один подход может заключаться в применении имеющей­ся математической модели, описывающей, что может происхо­дить, когда испытуемый отвечает на задания теста. Для простоты мы примем пока допущение, что имеем дело с тестом свободных ответов (тогда угадывание не составляет проблемы), каждое зада­ние которого может быть оценено как правильно или неправильно решенное.

Характеристическая

кривая задания

....

Три допущения, которые можно сделать с достаточной степе­нью надежности, таковы:

1) вероятность того, что кто-то справится с заданием правиль­но, зависит как от способностей человека, так и от трудно­стей тестового задания;

2) вероятность того, что кто-то справится с конкретным за­данием правильно, не зависит от правильности его ответов на любые другие задания, а является функцией способнос­тей человека (это известно как допущение «локальной не­зависимости»);

3) все задания шкалы оценивают только один конструкт.

Допущение локальной независимости, в сущности, означает, что каждое задание должно представлять совершенно новую про­блему и не должно быть переноса с одного задания на следую­щее — либо положительного (когда правильный ответ на один воп­рос или сам по себе необходим, или дает ключ к ответу на дру­гой), либо отрицательного (когда может быть необходимо отказаться от «приема», использованного в предыдущих вопросах, чтобы прий­ти к правильному ответу в следующем). Таким образом, допуще­ние локальной независимости не будет распространяться на такие задания, как задание 1: «Сколько будет 4 + 5?» и задание 2: «Чему будет равен корень квадратный из ответа на задание 1?», посколь­ку, если на задание 1 ответили неправильно, ответ на задание 2 также должен быть ошибочным. Ради простоты давайте рассмот­рим одиночное тестовое задание. Допущение (1), приведенное выше, говорит о том, что вероятность того, что кто-то правильно справится с заданием, зависит от его способностей и трудности этого задания. Итак, каков же наилучший способ смоделировать эту связь математически? Вы можете сначала подумать, что пря­мая линия, связывающая способности и успешность, обеспечит самую простую взаимосвязь. В конце концов, специалисты в обла­сти психометрики обычно допускают возможность линейных свя­зей между переменными, когда вычисляют корреляции и т.д. Та­ким образом, может быть, мы могли бы описать связь между спо­собностями и успешностью решения задания прямой линией? Один такой график представлен на рис. 16.1 (не обращайте пока внима­ния на буквы А, Си В).

На рис. 16.1 показано, что мы можем оценить вероятность того, что кто-то выполнит задание, используя уравнение прямой, т.е.

вероятность решения задания = а + b x способности, где а и b — константы (числа), которые могут быть установлены, например, с помощью регрессии. К сожалению, этот график, по-видимому, является в значительной степени ошибочным. Во-пер­вых, мы знаем, что вероятность правильного решения задания

Рис. 16.1. Возможная линейная связь между способностями и успешно­стью выполнения задания.

может колебаться только между 1 и 0. В отличие от тех случаев, когда линия не горизонтальна (что само указывает на то, что веро­ятность решения заданий совершенно не связана со способностя­ми), прямая линия обязывает предположить, что у студентов с очень низким или с очень высоким уровнем способностей вероят­ность решения задачи будет либо меньше нуля, либо больше еди­ницы, и это явно абсурдно. Здесь же возникает и вторая проблема. Положение линии на рис. 16.1 определяется двумя параметрами: ее наклоном и высотой (по оси Y), и, значит, оба параметра дол­жны быть установлены, когда оценивается взаимосвязь между спо­собностями и успешностью решения задания. Может быть, суще­ствует лучший способ описания этой связи — способ, который не допустит, чтобы вероятность оказалась меньше 0 или больше 1 и который основывается на одном параметре. Ради упрощения пред­положим, что мы имеем дело с тестом свободного ответа, в кото­ром респондентов просят дать один конкретный ответ (например: «Какой город является столицей Эквадора?») вместо нескольких альтернативных ответов, из которых нужно сделать выбор (напри­мер: «столица Эквадора — (а) Кито; (б) Богота; (в) Монтевидео»). При этом условии представляется разумным сделать следующие допущения.

• Вероятность того, что некто, имеющий крайне низкий уро­вень способностей, правильно ответит на тестовые задания умеренной сложности, должна быть достаточно близкой к

О, и тогда кривая должна пройти через точку А на рис. 16.1.

• Вероятность того, что некто, имеющий крайне высокий уро­вень способностей, правильно ответит на задания умерен­ной сложности, должна быть достаточно близка к 1,0, так что кривая должна пройти через точку В на рис. 16.1.

• Точка на кривой, в которой респондент имеет 50% вероят­ности правильно ответить на задания, может быть иденти­фицирована (как точка С на рис. 16.1). Эта точка соответству­ет уровню трудности задания.

• По обе стороны от этой точки существует диапазон способ­ностей, где вероятность правильно ответить на задание рав­номерно распределяется от 0 до 1,0.

• Пока будем считать, что этот разброс способностей одина­ков для каждого задания.

При наличии этих ограничений, в известной степени обуслов­ленных здравым смыслом, я предполагаю, что форма кривой, свя­зывающей способности с успешностью решения заданий, могла бы выглядеть приблизительно так, как это показано на рис. 16.2. Этот рисунок представляет "вероятность правильных ответов на за­дание для индивидуумов с различным уровнем способностей. Уро­вень трудности этого задания составляет 1,0, что соответствует точке на оси X, в которой индивидуум имеет 50% вероятности ответить на задание правильно. Графики такого типа известны как характе­ристические кривые задания (ХКЗ) (item characteristic curves (ICCs)) — это очень важный термин.

Вы могли заметить, что шкала способностей имеет как положи­тельные, так и отрицательные значения. Не беспокойтесь об этом.

Можно видеть, что шансы правильно ответить на это задание у человека, уровень способностей которого ниже —1,5, весьма не­значительны, а при уровне способностей выше 3,5 подавляющее большинство людей ответят на это задание правильно. Разные за­дания теста обычно будут иметь различные уровни трудности, и их можно удобно представить на одном и том же графике, как пока­зано на рис. 16.3, который представляет три задания с уровнями трудности 0, 2, 3.

Задание для самопроверки 16.2

Представьте себе, что некто, имеющий уровень способностей, рав­ный 1,0, ответил на три задания, характеристические кривые которых (ХКЗ) даны на рис. 16.3. Каковы приблизительно шансы, что он смо-

Рис. 16.2. Характеристическая кривая задания, уровень трудности кото­рого составляет 1,0.

Рис. 16.3. Три характеристических кривых заданий, уровень трудности которых составляет 0, 2, 3.

жет справиться с каждым заданием правильно? Какова была бы ве­роятность того, что человек, имеющий способности, равные 0, отве­тит на каждое из этих трех заданий правильно? Кривая для задания, уровень трудности которого равен 1,0, не дана, но можете ли вы, тем не менее, сказать, какова вероятность того, что испытуемый, имею­щий уровень способностей, равный 1,0, ответит на такое задание правильно?

В примерах, обсуждавшихся выше, мы приняли допущение, что задания варьируют только в аспекте их сложности. Благодаря этому характеристические кривые заданий проходят параллельно друг другу, причем наиболее трудные задания смещены вправо по шкале способностей. Поскольку трудность задания — единствен­ный параметр, который отличает одну ХКЗ от другой, разные ХКЗ, показанные на рис. 16.3, — примеры того, что называют «однопа-раметрической моделью».

Графики, изображенные на рис. 16.2 и 16.3, могут быть описа­ны довольно простым математическим уравнением, известным как «логистическая функция». Существует две главные причины для работы с логистической функцией. Во-первых, форма кривой (в отличие от линейной модели) выглядит заметно более соответ­ствующей критериям, выделенным выше, и она гарантирует, что вероятность правильного ответа на задание никогда не сможет выйти за границы диапазона от 0 до 1,0. Во-вторых, с ней легко работать, используя математические выражения, поскольку она не требует выполнения интегрирования и подобных запутанных методов. Она начинается с 0, двигается равномерно вверх по направлению к точке, характеризующей уровень сложности задания, и затем уп­лощается, по мере того как приближается к вероятности 1,0.

Представим себе, что мы имеем одно задание (задание /) и хотим вычислить вероятность, с которой личность с данным уров­нем способностей может решить это задание правильно. Урав­нение для однопараметрической логистической функции будет иметь вид: