Студопедия — Частотные характеристики структурных звеньев
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Частотные характеристики структурных звеньев






Для определения частотных характеристик рассматривается передача линейным звеном направленного действия гармонического сигнала x( ω t) c амплитудой Аx, угловой частотой ω, начальной фазой θ x: (рис.4,а):

.

На выходе звена в установившемся режиме гармонический сигнал y( ω t) имеет ту же частоту, но изменившиеся амплитуду Аy и фазу θ y:

.

Рис. 5

 

Изменение гармонического сигнала при передаче его звеном характеризуется отношением амплитуд и разностью фаз ψ=θух.

На рис.4,б гармонические сигналы xt) и y( ω t) представлены на в виде векторов , , вращающихся с угловой частотой ω. Модуль каждого вектора равен амплитуде соответствующего сигнала, а их положение на комплексной плоскости определяется начальными фазами. Векторы этих сигналов в комплексной форме имеют следующее выражение:

,

.

Комплексной частотной передаточной функцией (комплексным коэффициентом передачи) называют отношение вектора выходногогармонического сигнала к вектору входного сигнала :

. (17)

Таким образом комплексная частотная передаточная функция характеризует относительное изменение амплитуды А и фазы ψгармонического сигнала при передаче его звеном или системой. На комплексной плоскости частотную передаточную функцию можно представить неподвижным вектором (рис. 5):

.

Модуль вектора представляет собой отношение амплитуд:

,

фаза вектора ψ=θ yx – разность фаз выходного и входного гармонических сигналов.

При анализе частотных характеристик более удобной является алгебраическая форма записи комплексной частотной функции с выделением вещественной и мнимой частей:

.

Рис.6.

 

При обратном преобразовании для определения модуля и фазы вектора комплексной частотной функции используют известные соотношения:

; (17)

. (18)

Комплексную частотную передаточную функцию при изменении угловой частоты можно представить двумя вещественными характеристиками: амплитудно-частотной А (ω) и фазо-частотной ψ(ω ). Недостатками этих характеристик является сложность их представления в широком диапазоне изменения угловой частоты. Расчет и построение этих характеристик существенно упрощается при использовании логарифмических масштабов. Такие зависимости называют логарифмическими амплитудно-частотными (ЛАЧХ) и фазо-частотными (ЛФЧХ) характеристиками.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика показывает, как изменяется в логарифмическом масштабе в зависимости от угловой частоты амплитуда гармонического сигнала, передаваемого звеном или системой относительно амплитуды входного гармонического сигнала. Для количественного выражения ординат ЛАЧХ использована логарифмическая единица усиления мощности гармонического сигнала 1бел [Б], применяемая в акустике. Она характеризует усиление мощности сигнала в 10 раз. В теории автоматического управления используют понятие усиления амплитуды гармонического сигнала. Мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, поэтому единице усиления мощности 1 бел соответствует усиление амплитуды сигнала в раза. Практически используют дольную единицу - децибел (1[дБ]=0,1Б), соответствующую усилению мощности сигнала в раза и увеличению амплитуды в раза.

Логарифмы угловой частоты выражаются в декадах; 1 дек соответствует увеличению частоты в 10 раз.

Аналитическое выражение ЛАЧХ G( ω ) определяется логарифмированием квадрата модуля комплексной частотной функции и умножением на 10 для перевода в дольные единицы усиления мощности, дБ:

. (19)

График ЛАХЧ строят в логарифмических координатах. Усиление мощности сигнала, в децибелах, откладывают по оси ординат, а логарифмическое увеличение частоты, в декадах, – по оси абсцисс. Расположение характеристики выше оси абсцисс характеризует усиление амплитуды и мощности гармонического сигнала на выходе звена или системы относительно входного. Если характеристика или ее часть расположена ниже оси абсцисс, это соответствует ослаблению амплитуды и мощности сигнала.

Логарифмическая фазочастотная характеристика ψ(ω) – это зависимость относительного изменения фазы гармонического сигнала при передаче его звеном или системой от логарифма угловой частоты. На графике изменение фазы ψ, выраженное в угловых градусах или радианах, откладывают по оси ординат. Логарифмическую частоту, в декадах, откладывают по оси абсцисс. Логарифмические амплитудно- и фазо- частотные характеристики обычно совмещают по координате частоты, или располагают одну под другой.

Свойства логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ):

- форма ЛЧХ и не зависит от параметров звена - коэффициента усиления и постоянной времени; она определяется формулой частотной передаточной функции;

- ЛАЧХ и ЛФЧХ смещаются по оси абсцисс влево при увеличении постоянной времени звена, вправо - при уменьшении постоянной времени;

- ЛАЧХ смещается по оси ординат вверх при увеличении коэффициента усиления, вниз - при уменьшении коэффициента усиления; положение ЛФЧХ в координатных осях не зависит от коэффициента усиления звена.

Для определения комплексной частотной передаточной функции и амплитудно-фазовой характеристик апериодического звена 1-го порядка гармонические сигналы входной х( ω t) и выходной у( ω t) в уравнении (1) представлены в комплексной форме:

.

Комплексная частотная передаточная функция в соответствии с выражением (17) имеет следующий вид:

. (20)

Сопоставление полученного выражения с формулой (7) операторной передаточной функции апериодического звена 1-го порядка показывает их полную идентичность. Поэтому комплексную частотную функцию звена или системы автоматического управления можно выразить из операторной передаточной функции, заменив в ней множитель «р» на «j ω ».

Для определения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик, надо представить комплексную частотную передаточную функцию (20) в алгебраической форме в виде суммы вещественной и мнимой частей:

Используя выражение (17) и (18) можно получить формулы, определяющие зависимости изменения модуля и фазы ψ(ω) вектора частотной функции от угловой частотыω:

, (21)

. (22)

 

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика апериодического звена 1-го порядка определяются в соответствии с выражением (19) логарифмированием модуля частотной передаточной функции (20):

. (23)

График ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка показан на рис.6,а. В инженерных расчетах обычно используют упрощенные ЛАЧХ, составленные из линейных отрезков, что позволяет избежать громоздких вычислений. Горизонтальный отрезок располагают на уровне . Аналитическое выражение для наклонного отрезка может быть получено из второго слагаемого формулы (23), если пренебречь единицей под знаком радикала:

.

Наклонный отрезок с крутизной наклона «минус» 20дБ/дек сопрягается с горизонтальным отрезком характеристики в точке N при логарифмической частоте .

а) б)

 

 

Рис.7

Наибольшая погрешность линеаризации ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка имеет место при логарифмической частоте сопряжения отрезков и составляет дБ. График линеаризованной ЛАЧХ выделен на рис.7,а штриховыми линиями.

Правило: для построения линеаризованной ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка надо вычислить логарифмические координаты точки N сопряжения горизонтального и наклонного отрезков характеристики [ ; ]. Из этой точки надо провести горизонтальный отрезок влево, наклонный – вправо, с наклоном «минус» 20дБ/дек.

Коэффициент усиления K исследуемых апериодических звеньев 1-го порядка равен 1, поэтому горизонтальный отрезок линеаризованной характеристики расположен на оси абсцисс. График логарифмической фазо-частотной характеристики апериодического звена 1-го порядка описывается функцией арктангенса (22), и изменяется в пределах от 0 до -90 град. При частоте фазовый угол характеристик составляет: ψ= - 45град. График характеристики имеет центральную симметрию относительно точки M с координатами [ ;- 450].

Комплексная частотная передаточная функция колебательного звена 2-го порядка получена из уравнения в комплексной форме с гармоническими переменными и , соответствующего каноническому уравнению звена (2):

.

В соответствии с выражением (5) она имеет следующий вид:

. (24)

Для определения амплитудночастотной и фазочастотной характеристик, надо представить комплексную частотную передаточную функцию (24) в виде суммы вещественной и мнимой частей:

Используя выражение (17) и (18) получены формулы, определяющие зависимости изменения модуля (АЧХ) и фазы ψ(ω) (ФЧХ) вектора частотной функции от угловой частотыω:

, (25)

. (26)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика колебательного звена 2-го порядка определяются в соответствии с выражением (19) логарифмированием модуля частотной передаточной функции (25):

. (28)

Графики ЛАЧХ колебательного звена 2-го порядка для коэффициентов затухания n =1; 0,5; 0,25 показаны на рис.7,б.

Упрощенная ЛАЧХ, составленная из линейных отрезков, выделена для n =0,5 штриховыми линиями. Горизонтальный отрезок расположен по оси абсцисс на уровне , наклонный отрезок проходит из точки N с абсциссой с наклоном «минус» 40 дБ/дек. Наибольшая погрешность линеаризации ЛАЧХ при логарифмической частоте сопряжения отрезков составляет «минус» 6 дБ. Ордината амплитуды ЛАЧХ при n <0,5 для логарифмической частоты определяется в соответствии с выражением (28) по следующей формуле:

. (28)

Коэффициент усиления K исследуемого колебательного звена 2-го порядка равен 1, поэтому горизонтальный отрезок линеаризованной характеристики расположен на оси абсцисс. Характеристики исследуемого звена выделены на рис. 7,а штриховыми линиями.

 

ЛФЧХ колебательного звена 2-го порядка описывается функцией арктангенса (27) и изменяется в пределах от 0 до -180 град. При частоте фазовый угол характеристик составляет: ψ= -90град. Форма ЛФЧХ зависит от коэффициента затухания n. Чем меньше коэффициент затухания, тем круче расположена характеристика в области прилегающей к логарифмической частоте сопряжения. Графики ЛФЧХ колебательного звена 2-го порядка для коэффициентов затухания n =1; 0,5; 0,25 показаны на рис.6,б.







Дата добавления: 2015-08-31; просмотров: 1513. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Различия в философии античности, средневековья и Возрождения ♦Венцом античной философии было: Единое Благо, Мировой Ум, Мировая Душа, Космос...

Характерные черты немецкой классической философии 1. Особое понимание роли философии в истории человечества, в развитии мировой культуры. Классические немецкие философы полагали, что философия призвана быть критической совестью культуры, «душой» культуры. 2. Исследовались не только человеческая...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит...

Классификация и основные элементы конструкций теплового оборудования Многообразие способов тепловой обработки продуктов предопределяет широкую номенклатуру тепловых аппаратов...

Именные части речи, их общие и отличительные признаки Именные части речи в русском языке — это имя существительное, имя прилагательное, имя числительное, местоимение...

Интуитивное мышление Мышление — это пси­хический процесс, обеспечивающий познание сущности предме­тов и явлений и самого субъекта...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия