Пересечение пирамиды с параллелограммом

На рис. 9 представлено решение задачи двумя способами.

Проведя вспомогательные фронтально – проецирующие секущие плоскости a₁¢¢, a₂¢¢, a₃¢¢, находим точки P, K, M, Q фигуры сечения первым способом, который подробно рассмотрен на примере пересечения призмы с треугольником (см. рис. 6).

Рассмотрим второй способ решения задачи.

Этот способ заключается в последовательном многократном решении задачи на построение линии пересечения двух плоскостей, которыми в данном случае являются плоскость параллелограмма и поочередно грани пирамиды (рис.9).

Решение основано на использовании вспомогательных секущих плоскостей, которые обязательно должны быть либо проецирующими, либо плоскостями уровня и пересекать обе заданные фигуры. На рис. 9 такими плоскостями являются плоскости b₁ и b₂. Это горизонтальные плоскости уровня (b₁ и b₂ параллельны оси ОХ и, следовательно, параллельны плоскости p₁), одновременно пересекающие параллелограмм и грани пирамиды.

Построим линию пересечения параллелограмма EE ₁ D ₁ D и одной из граней пирамиды, например ACS. Для этого выполним следующие действия:

1) проведем вспомогательную плоскость b₁¢¢ и тем же способом, что и при решении задачи на пересечение призмы с треугольником (см. рис. 6), найдем фронтальную проекцию линии пересечения этой плоскости с параллелограммом l ₁¢¢, проходящую через точки a ¢¢ и a ₁¢¢, и проекцию l ₂¢¢ линии пересечения плоскости с гранью пирамиды A ¢¢ C ¢¢ S ¢¢;

2) построим горизонтальные проекции этих линий пересечения l ₁¢ и l ₂¢;

3) на пересечении горизонтальных проекций l ₁¢ и l ₂¢ находим горизонтальную проекцию точки, принадлежащей одновременно плоскости параллелограмма и плоскости, ограниченной гранью пирамиды ASC. Обозначим эту точку R¢ и, проведя от нее линию связи до пересечения с b₁¢¢, найдем ее фронтальную проекцию R ¢¢;

4) аналогичным путем проведем плоскость b₂¢¢,найдем горизонтальные проекции линий l ₃¢, l ₄¢ на пересечении которых получим горизонтальную проекцию второй общей точки N ¢, а затем, проведя линию связи до пересечения с b₂¢¢, и фронтальную ее проекцию N ¢¢;

5) соединив точки R и N между собой, получим прямую RN, которая будет линией пересечения двух плоскостей – грани ASC и параллелограмма EE ₁ D ₁ D, так как имеет две общие точки, через которые можно провести только одну прямую. На рис.9 видно, что прямая RN полностью совпадает с прямой KM, полученной по методу пересечения прямой с плоскостью;

6) повторив ту же последовательность действий с использованием граней ABS и BSC, получим линии пересечения этих граней пирамиды с параллелограммом, совпадающие соответственно с линиями KP и MQ.

Следовательно, независимо от метода решения задачи мы получаем один и тот же результат.

Таким образом, фигуру сечения PKMQ можно получить, используя проецирующие плоскости a₁¢¢, a₂¢¢, a₃¢¢ или плоскости уровня b₁¢¢, b₂¢¢.

Пример оформления расчётно-графической работы приведён на рис. 11.