Начальные и граничные условия

В нестационарных тепловых процессах температура тела зависит от времени. Для однозначного определения этой зависимости необходимо задать начальное условие – распределение температуры в начальный момент времени:

Т ç = Т_о. (3.34)

В общем случае температура Т_о является функцией координат Т_о = Т_о(х, у, z). Так как начало времени выбирается произвольно, то в большинстве практических задач можно выбрать момент t = 0, совпадающий с равновесным состоянием. Тогда начальное распределение температуры по объему тела является равномерным и Т_o = const, что значительно упрощает решение задачи.

Граничные условия задачи описывают теплообмен внешней поверхности тела с окружающей средой и, таким образом, задают связь между внешними тепловыми воздействиями и температурным полем внутри тела.

Если по условию задачи известна температура поверхности тела, то можно записать граничное условие первого рода (ГУ I рода):

Т_лов = Т_п. (3.35)

Температура поверхности Т_п может быть постоянной величиной (Т_п = const) или изменяться во времени: Т_п = Т_п(t). Граничное условие имеет наиболее простой вид для тел канонической формы в случае одномерного теплового потока. Например,

Тú = Т_п; Тú = Т_п.

Во многих задачах известна мощность, подводимая извне (или отводимая) к поверхности тела. Для характеристики такого вида теплового воздействия применяется граничное условие второго рода (ГУ II рода). Это условие получается путем приравнивания плотности теплового потока, определяемой законом Фурье у поверхности тела, к поверхностной мощности внешнего источника тепла q_s:

±l(gradT)_пов = q_s. (3.36)

При записи ГУ II рода необходимо обратить внимание на правило знаков. Величина l(gradT)_пов записывается с минусом, если соответствующая ось координат направлена внутрь тела; в противном случае знак «+».

Поверхностная мощность q_s положительна в случае подвода тепла и отрицательна в случае отвода (рис 3.5):

; .

Если на поверхности тела имеется идеальная тепловая изоляция, то q_s = 0 (адиабатическое условие), и, следовательно, (grad T)_пов = 0.

Граничное условие третьего рода (ГУ III рода) описывает конвективный теплообмен поверхности тела со средой, имеющей температуру Т_с (рис. 3.6). Приравнивая величину плотности теплового потока, подводимого к поверхности путем теплопроводности, к величине плотности теплового потока, определяемой законом Ньютона для конвективного теплообмена, получим

±l(gradT)_пов = a[T_c-(T)_пов]. (3.37)

Правило знаков такое же, как и в случае ГУ II рода. Например,

 

; .

 

 

При конвективном теплообмене внешнее тепловое воздействие характеризуется уже не одним, а двумя параметрами: температурой среды Т_с (постоянной или меняющейся во времени) и коэффициентом теплообмена a. При малых значениях коэффициента теплообмена (a®0) ГУ III рода переходит в адиабатическое условие второго рода. Если же коэффициент теплообмена очень велик (a®¥), то температура поверхности становится равной температуре среды, и ГУ III рода переходит в граничное условие первого рода.

Теплообмен на поверхности идеального контакта двух различных тел описывается граничным условием четвертого рода (ГУ IV рода). На поверхности контакта температура и тепловой поток неразрывны (рис. 3.7). Если одномерные температурные поля двух тел описываются функциями T₁(x, t) и T₂(x, t), то ГУ IV рода имеет вид

; . (3.38)

Если тело в одном или нескольких направлениях имеет очень большую протяженность, его приближенно считают бесконечным (полубесконечным). На достаточно большом удалении от источника теплового воздействия его влияние практически не сказывается; поэтому условие на «бесконечности» обычно записывают в виде

или (3.39)

Если сплошное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, а условия теплообмена одинаковы по всей его поверхности, то следует применить условие симметрии. Из равенства температур точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра, оси или плоскости симметрии следует, что температура там должна иметь либо максимальное (в случае охлаждения), либо минимальное (в случае нагрева) значение. Поэтому градиент температуры в этой точке равен нулю:

 

; или (3.40)

 

3.1.5. Стационарный режим теплопроводности.

Стационарное температурное поле

 

В стационарном температурном поле температура не изменяется во времени, т.е. условие стационарности имеет вид = 0. Процесс теплопроводности при этом описывается уравнением Пуассона или Лапласа.

Стационарное температурное поле возникает при наличии стационарного теплового режима. Этот режим заключается в постоянстве теплового потока, пронизывающего тело. В частности, если тепловой поток равен нулю, имеет место равновесное состояние, когда температура всех точек тела одинакова. Стационарный тепловой режим предполагает постоянство во времени мощности внутреннего источника тепла (если он есть), а также граничных условий. Так, при ГУ I рода необходимо постоянство температур поверхностей тела, при ГУ II рода – постоянство плотности подводимого теплового потока, при ГУ III рода – постоянство температур окружающих сред и коэффициентов теплообмена.

Пусть в некотором теле установился тепловой режим при наличии внутреннего источника тепла, мощность которого постоянна во времени и равномерно распределена по объему тела (q_Иv = const). Если тело представляет собой неограниченную пластину (плоская стена), то уравнение Пуассона для одномерного поля имеет вид

(3.41)

Перепишем это уравнение в виде

Интегрируя, получим выражение для градиента температуры:

,

где А – постоянная интегрирования.

После повторного интегрирования получим функцию, описывающую температурное поле:

(3.42)

где В – постоянная интегрирования.

Для нахождения постоянных А и В необходимо иметь систему из двух уравнений, которыми являются граничные условия задачи.

Исследуем частные случаи стационарного распределения температуры по толщине пластины.

1. При отсутствии внутреннего источника тепла (q_Иv = 0)

Т = А х + В; . (3.43)

Распределение температуры имеет линейный характер, а градиент температуры постоянен по толщине (рис. 3.8). Применим ГУ I рода:

Тú = Т₁; Тú = Т₂, тогда

T₁=B; ,

– температурное поле, описывающее распределение температуры в конкретной пластине при q_Иv = 0.

Применим закон Фурье q _Т = -l grad T;

; – закон Ома.

По аналогии с законом Ома примем R_Т = – тепловое (термическое) сопротивление стенки, и Ф = . (3.44)

Таким образом, если на поверхностях стенки поддерживается определенная постоянная разность температур, то тепловой поток будет тем больше, чем меньше тепловое сопротивление. Если же поддерживается определенный постоянный тепловой поток, то возникающий перепад температур будет тем больше, чем больше R_Т.

2. Если температурное поле обладает симметрией или одна из поверхностей пластины (х = 0) имеет идеальную тепловую изоляцию, то одно из граничных условий можно записать в виде

.

В этом случае А = 0, и распределение температуры представляет собой квадратичную параболу с вершиной в плоскости х = 0 (рис. 3.9). При отсутствии внутреннего источника и наличии симметрии (или адиабатической поверхности) температура постоянна по толщине пластины (равновесное состояние).

3. Уравнение Пуассона для неограниченного цилиндра или шара, соответственно принимает вид

(3.45)

Применяя к этим уравнениям те же процедуры разделения переменных и двукратного интегрирования, получим выражение для температурного поля неограниченного цилиндра:

+ A ln r + B (3.46)

и шара:

(3.47)

Постоянные интегрирования А и В также определяются граничными условиями задачи.

Одномерное температурное поле сплошного цилиндра обладает осевой симметрией, а сплошного шара – центральной. Условие симметрии в данном случае эквивалентно конечности температуры на оси цилиндра или в центре шара (при r = 0). Для выполнения этого условия необходимо, чтобы постоянная А в том и другом случаях равнялась нулю (в противном случае температура на оси цилиндра или в центре шара стремится к бесконечности, т.к. ÷ln r÷®¥; ®¥). Таким образом, стационарное температурное поле сплошных цилиндра и шара описывается квадратичной параболой с вершиной, расположенной на оси цилиндра или в центре шара (рис. 3.10).

При отсутствии внутренних источников тепла стационарное распределение температуры в этих телах может быть только равновесным.

Полые цилиндр и шар представляют собой соответственно цилиндрическую и сферическую стенки (рис. 3.11). Положив q_{И v} = 0, видим, что в отсутствие внутренних источников распределение температуры по толщине стенок имеет соответственно логарифмический и гиперболический характер:

(3.48)

ГУ I рода:

 

 

Рис. 3.11. Расчетные схемы для определения температурных полей

в цилиндрической (а) и сферической (б) стенках

T ₁ = A ln R ₁+ B, T ₁ = ,

T ₂ = A ln R ₂ + B, T ₂ =

A = A =

B =

Закон Фурье

Для стенки, в которой q_{И v} = 0, выражения для теплового потока:

Ф =

Термическое сопротивление цилиндрической и сферической стенок:

Если , то Если , то