Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)
Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения: единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = дельта-функция X(s) = 1, линейное воздействие X(s) = Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.
Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) = Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s): s2Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X, s2Y + 5sY + 6Y = 2s Y(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12. Определяется выражение для Y: Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3): =
5.М1 + 3.М2 + 2.М3 = 2 à M2 = -4 6.М1 = 12 M3 = 2 Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей: Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции: y(t) = 2 - 4.e-2t + 2.e-3t.
|
,
.
.
= 
+ 
+ 
=
.
Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
М1 + М2 + М3 = 0 M1 = 2
- 
+ 
.
