Интуиционистская логика

Интуиционизм опр. как фф. напр-е в математике и логике, которое опирается на след. осн. положения:

- отказ от использования идеи актуальной бесконечности;

- логика как наука не предшествует математике;

- интуитивная убедительность есть последнее основание математики и логики.

Взамен отвергаемого понятия актуальной бесконечности и наивного понимания существования в математике (при котором это понятие считается не нуждающимся в к.-л. анализе) интуиционизм кладет в основу своего подхода понятие потенциальной бесконечности и связанное с ним существование математических объектов как возможности (хотя бы в принципе) их построения. При этом он отвергает идею о том, что в основании математики должна лежать дедуктивная логика (или логика вообще). Согласно Брауэру, математика тождественна с точной частью человеческого мышления; в связи с этим, попытки обоснования математики средствами логики приводят к порочному кругу, т,к, логика, будучи составной частью точного мышления, является тем самым частью математики.

Под интуитивной убедительностью в интуиционизме понимается непреложная умозрительная или наглядная очевидность, присущая элементарным шагам рассуждения, отдельным суждениям или отдельным понятиям, например, «0=0», «Из А следует А» (для данного конкретного суждения А) или понятие натурального ряда чисел 1, 2, 3,… Отличительной особенностью интуиционизма является отказ от попыток точного определения таких понятий, как «доказательство», «построение», а также самого понятия «интуиция». С одной стороны, математические (отн. к точной части мышления) доказательства и построения должны обладать достаточной интуитивной ясностью (так, что если относительно к.л. рассуждения возникает сомнение в том, является ли оно, например, доказательством, его и не следует считать таковым); с др. стороны, что нет оснований признавать к.л. попытку определения этих понятий вводящей (уточненное) понятие, адекватное первоначальному (неуточненному) понятию, т.к. с точки зрения интуиционизма представляется невозможным охватить одним определением все те способы рассуждения, которые могут когда-либо оказаться интуитивно убедительными.

Классическая математика, т.е. математика, опирающаяся на теорию множеств Кантора, широко пользуется понятием актуальной бесконечности, позволяя считать существующими любые бесконечные множества и оперировать с ними как с завершенными числами; при этом они игнорируют вопрос о том, в каком смысле можно утверждать существование таких множеств. В математике существование объекта понимается обычно как возможность (хотя бы в принципе) «предъявить» его и осмысленно оперировать с ним. С точки зрения теории множеств предъявление объекта считается в принципе возможным даже в том случае, если оно требует перебора всех элементов некоторого бесконечного множества или даже всех его подмножеств. Отказываясь от актуальной бесконечности, признает предъявление объекта возможным лишь тогда, когда указан метод его построения.

Интуиционистское понимание дизъюнкции. Утверждение суждения АÚВ означает, по существу, утверждение того, что во множестве из двух суждений А и В существует элемент, обладающий свойством «быть истинным». Классическая логика считает такое утверждение доказанным, например, в том случае, когда утверждение об одновременной ложности обоих суждений А и В опровергнуто приведением к противоречию. Но с точки зрения итуиционистской логики утверждение АÚВ может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить какое именно из суждений А и В истинно. Дизъюнкция существенно участвует в формулировке принципа исключенного третьего: А Ú ùА (теорема Ферма: «не найдется такой четверки х, у, з, n целых пол. чисел, что n ¹ 2 и хⁿ + уⁿ = зⁿ»; пример с погодой и выбором подходящей одежды). Сомнения в возможности существования метода пригодного не только для решения нерешенных математических проблем, но и любых подобных проблем, связанных с применением закона исключенного третьего явились для интуиционизма убедительным аргументом в пользу неприятия последнего.

Суждение всеобщности "хА(х) интуиционизм всегда понимает как утверждение о наличии метода, который, коль скоро указан некоторый предмет х из предметной области М, дает интуитивно ясное доказательство того, что этот предмет обладает свойством А (в отличие от классических математики и логики, в которых это суждение может пониматься как утверждение о фактическом положении вещей в некоторой конечной или бесконечной области М). Методом доказательства суждений всеобщности, приемлемым с точки зрения интуиционизма, является математическая индукция. Сходным образом в ин-ме понимается и условное суждение. В отличие от классического пониманияимпликации, интуиционистс-кая логика понимает суждение АÉВ как утверждение о наличии интуитивно ясного метода перехода, который по каждому интуиционистски приемлемому доказательству суждения А дает интуиционистски приемлемое док-во суждения В. Суждение ØА с точки зрения интуиционизма может пониматься как утверждение о наличии метода, позволяющего интуитивно ясно вывести противоречие из предположения об истинности А.

Для интуиционизма характерна тенденция понимать интуицию (в смысле интуитивной убедительности, интуитивистской приемлемости) в самом узком смысле - так, чтобы для всех математиков исчезло бы сомнение в том, что рассматриваемое рассуждение или утверждение является интуитивно убедительным. Поэтому некоторые представители ин-ма принимали закон А&АÉВ (Брауэр), а некоторые - нет (Иогансон). Неочевидность этого закона связана с невозможностью указать такую ситуацию, в которой имеет место А&ØА, чем серьезно затрудняется обоснование этой импликации

В результате критического переосмысления осн. принципов инт. логики возникла конструктивная логика. Конструктивное направление в совр. логике состоит в том, что исследование ограничивается конструктивными объектами и проводится в рамках абстракции потенциальной осуществимости без привлечения абстракции актуальной бесконечности.

Один из простейших типов конструктивныхъ объектов образуют слова в определенном фиксированном алфавите. Слово в данном алфавите есть ряд букв этого алфавита. Например, (1) университет есть слово в русском алфавите. Здесь элементарными конструктивными объектами являются буквы данного алфавита, а способ их сочленения - это написание рядом с друг с другом. Натуральные числа можно рассматривать как слова в алфавите, единственной буквой которого является “1”. В частности, единица рассматрива-ется как слово “1”, два - как слово “11”, три - как слово “111”. При рассмотрении слов появляется понятие одинаковости. Например, слово (1) мы считаем одинаковым со словом (2) университет. Естественным образом здесь применяется абстракция отождествления.: мы отждествляем одинаковые слова (1) и (2), отвлекаемся от имеющихся различий между ними, говорим, что это одно и то жэе слово.

При рассмотрении слов в данном алфавите возникает потребность в абстракции и другого типа - в абстракциипотенциальной осуществимости. Она состоит в отвлечении от практических границ наших возможностей в пространстве, времени и материале при построении слов. Например, мы отвлекаемся от практической возможности написать на данной доске данным мелом сколь угодно длинные слова и начинаем рассуждать так, как если бы это было возможно. Мы утверждаем, в частности, что к любому слову в данном алфавите можно приписать справ любое другое слово в этом алфавите. Рассматривая натуральные числа как слова в однобуквенном алфавите, мы утверждаем, что любые два натуральных числа можно сложить. Это, однако, вовсе не означает, что мы начинаем рассматривать “натуральный ряд” как некоторый бесконечный “объект”. Такое рассмотрение было бы связано с абстракцией актуальной бесконечности, выходящей за рамки коструктивизма и характерной для классической математики и логики. Здесь и проходит граница между коструктивисткой и классической логиками.

В классической математике и логике доказываются многочисленные “чистые теоремы существованимя”, состоящие в утверждениях о существовании объектов с такими свойствами, при полном игнорировании способов построения таких объектов. Коструктивная логика отвергает такого рода предложения.

Коструктивному пониманию существования объета соотвествует конструктивное понимание дизъюнкции - предложений вида “p или q”. Такое предложение тогда считается установленным, когда хотя бы одно из преджложений p, q установлено как верное. Это понимание дизъюнкции не дает оснований считать верным закон исключенного третьего: “Р или не верно, что Р.

Оформление и развитие конструктивной логики имело место на осове уточнения понятия алгоритма. Особенно здесь нужно отметить теорию нормальных алгоритмов.

Метод коструктивного подбора:

Пусть для свойства b имеется алгоритм, выясняющий для всякого натурального числа n, обладает ли n свойством b. Найти это натуральное число можно тогда путем перебора натуральных чисел начиная с нуля, причем для каждого рассматриваемого натурального числа мы выясняем, пользуясь алгорифмом, наличие которого предполагается, обладает ли n свойством b.