Модальная логика

 

Понятие модальности. Модальность - понятие философии, логики и науки о языке. Логический смысл этого понятия заключается в оценке высказывания, данной с той или иной точки зрения. Модальная оценка выражается с помощью понятий «необходимо», «возможно», «доказуемо», «опровержимо», «обязательно», «разрешимо» и т. д.

Различие суждений по модальности проводил уже Аристотель, который разработал особую модальную силлогистику. В средневековой схоластике речь шла об онтологической и логической модальностях. Известному разделению суждений на асссерторические, аподиктические и проблематические традиционная логика обязана Канту, согласно которому модальность суждения не добавляет чего-либо к его содержанию, а выражает лишь способ, каким нечто утверждается или отрицается (как действительное, необходимое или возможное). Другими словами, модальное высказывание может быть образовано из любого (немодального). В качестве выражающего модальность понятий подставляются различные понятия, определяющие тип связи субъекта и предиката: «Возможно, что S есть Р», «Хорошо, что …», «Немыслимо, чтобы …», «Доказано, что …» и т.д. Модальной оценке могут быть подвергнуты не только связи предметов и признаков, но и связи других типов: «Необходимо, что если А то В», «Всегда будет так, что В если А» и т.п. Причем одно и то же высказывание можэет стать объектом нескольких модальных оценок с одной или разных точек зрения: «Хорошо, что доказано, что S есть Р»

В современной логике используются для исследования следующие основные типы модальных оценок:

- логические модальности// логически необходимо, случайно, возможно, логически следует (влечет), есть логическое следствие;

- физические модальности (онтологические, каузальные)// физически необходимо, случайно, возможно, есть причина, есть следствие, не является ни причиной, ни следствием

- теоретико-познавательные (эпистемические) модальности// относящиеся к знанию: доказуемо, опровержимо, неразрешимо; относящиеся к убеждению: убежден, сомневается, отвергает, допускает; связанные с истинностной характеристикой: истинно, ложно, неопределенно - вероятнее, менее вероятно, равновероятно.

- деонтические (нормативные) модальности// обязательно, нормативно безразлично, запрещено, разрешено;

- аксиологические (оценочные) модальности// хорошо, аксиологически безразлично, плохо - лучше, равноценно, хуже;

- временные модальности// было, есть, будет - раньше, одновременно, позже.

В зависимости от изучаемого типа модальности и выделяют различные направления модальной логики, которые, в свою очередь, составляют специальный раздел неклассической логики, исследующий логические связи модальных высказываний. Теория логических модальностей изучает логическое поведение высказываний, включающих модальные понятия «логически необходимо», «логически возможно», «логически случайно» и т.д.

Общие принципы модальных логик. Модальные понятия разных типов имеют общие формальные свойства. Так, независимо от того, к какой группе относятся эти понятия, они определяются друг через друга по одной и той же схеме. Нечто возможно, если противоположное не является необходимым; разрешено, если противоположное необязательно; допускается, если нет убеждения в противоположном. Случайно то, что не является ни необходимым, ни невозможным. Безразлично то, что необязательно и не запрещено. Неразрешимо то, что недоказуемо и неопровержимо, и т.п.

Аналогично определяются сравнительные модальные понятия: «первое лучше второго» равносильно «второе хуже первого», «первое раньше второго» равносильно «второе позже первого», «первое причина второго» равносильно «второе следствие первого» и т. д.

В рамках всей системы модальной логики действует принцип модальной полноты, который можно сравнить с действием принципа (закона) исключенного третьего. Согласно этому принципу, в теории логических модальностей каждое высказывание является или необходимым, или случайным, или невозможным. Точно также в дионтической логике всякое действие или обязательно, или нормативно безразлично, или запрещено, а в логике оценок всякий объект является или хорошим, или оценочно безразличным, или плохим.

Соответственно, модальным аналогом закона непротиворечия традиционной логики является принцип модальной непротиворечивости. Например, высказывание не может быть как обязательным, так и запрещенным; объект не может быть и хорошим и плохим.

Основы теории логических модальностей. Основные модальные характеристики высказываний - возможность, необходимость, случайность.

 

Логическая возможность определяется как внутренняя непротиворечивость высказывания. Высказывание «Крокодилы водятся в реке Урал» внутренне непротиворечиво и, значит, логически возможно. «Если верно предыдущее предположение, то крокодилы в реке Урал не живут» противоречиво и поэтому логически невозможно.

Логическая возможность определяется также и через понятие логического закона:

- логически возможно высказывание, не противоречащее законам логики (высказываЛние, совместимое с этими законами; высказывание, отрицание которого не вытекает из законов логики).

Логическая возможность шире онтологической (фактической, физической, каузальной) возможности: возможное фактически является возможным и логически, но не наоборот. В приведенном высказывании ситуация логически возможна, но фактически нет. Также как возможны логически круговые орбиты планет, но невозможны физически.

Логическая возможность изучается модальной логикой в связи с понятиями необходимости, случайности и др. Можно выделить несколько утверждений в качестве законов в этой связи:

- из истинности высказываний вытекает его возможность, но возможность слабее истинности (Если сидящие в этой аудитории являются студентами, то возможно, что они - студенты).

- логическое противоречие не является возможным высказыванием (Неверно, что возможно, что на Венере есть жизнь и нет жизни)

- возможно первое или второе, если и только если возможно первое или возможно второе;

- высказывание возможно, если и только если его отрицание не является необходимым (Возможно, что птицы летают, только если неверно, что необходимо, что они не летают)

- высказывание необходимо тогда и только тогда, когда его отрицание не является возможным (Необходимо, что холостяк не является женатым, только если невозможно, чтобы холостяк был женат)

Невозможность определяется как отрицание возможности, а случайность - как возможность и самого высказывания, и его отрицания.

Логическая необходимость присуща высказыванию, отрицание которого логически невозможно.

Высказывание логически необходимо, если его истинность может быть установлена независимо от опыта или на чисто логических основаниях. В таком случае говорят, что высказывание необходимо истинно и является более сильным утверждением в отношении подтверждения его истинности по сравнению с аналогичным фактически истинным высказыванием. Всякое высказывание, содержащее логическую необходимость также и каузально необходимо, но не наоборот. Таким образом, логическая необходимость уже каузальной (физической). Другими словами, законы логики есть и законы природы, но не наоборот. Если, например, планета вращается, то она вращается, - это следствие закона логики и вместе с тем необходимая истина физики. Но то, что у планет эллиптические орбиты, - закон физики, но не логики: логически возможно, чтобы орбиты планет были круговыми.

Нечто необходимо, если оно не может быть иным, чем оно есть. В зависимости от того, на какое основание опирается утверждение о необходимости, можно выделить три ее вида: логическую, онтологическую и нормативную. Логическая необходимость связана с логическим законом: логически необходимо то, что вытекает из законов логики (отрицание чего несовместимо с законами логики). Физически необходимо то, отрицание чего нарушает законы природы. Нормативно необходимым (обязательным) является то, отрицание чего противоречит законам или нормам, установленным в обществе.

В качестве законов, устанавливаемых модальной логикой в отношении необходимости, можно назвать следующие:

- из необходимости высказывания вытекает его истинность, но не наоборот;

- логические следствия необходимого также необходимы;

- высказывание и его отрицание не могут быть вместе необходимыми.

Логическая необходимость может быть определена через логическую возможность: высказывание необходимо, когда его отрицание невозможно. Например: «Необходимо, что снег идет или не идет» означает «Невозможно, что снег идет и не идет». В свою очередь возможность определима через необходимость: высказывание возможно, когда его отрицание не является необходимым: «Возможно, что некто Х является злодеем» = «Неверно, что некто Х обязательно добрый человек» («обязательно» как «необходимо» - «Неверно, что необходимо, что некто Х не является злодеем»). Взаимная определимость необходимости и возможности дает право каждое рассуждение о необходимости перефразировать в рассуждение о возможности, и наоборот. При построении модальной логики в качестве исходного обычно принимается одно из понятий - «необходимо» или «возможно», второе определяется через него.

Логическая невозможность высказывания определяется как логическая необходимость его отрицания. Логическая случайность высказывания означает, что ни оно само, ни его отрицание не являются логически необходимыми.

Логическое значение (истинность и ложность) сложного высказывания, образованного с помощью модального оператора, не определяется однозначно логическим значением того высказывания, к которому применяется данный логический оператор. Например, пусть в некотором стрпучке гороха мы обгаружили 10 горошин. Тогда высказывание «В данном стручке 10 горошин» истинно, но высказывание «Необходимо, что в данном стручке 10 горошин», очевидно, ложно. Между тем, высказывания «Данный стручок гороха содержит белок» и «Необходимо, что данный стручок гороха содержит белок» оба истинны. Т.е., модальные операторы как бы «чувствительны» к смыслу, выраженному в соотвествующих высказываниях. Этим модальные операторы отличаются от пропозициональных связок классического исчисления высказываний.