Студопедия — Ранг матрицы.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ранг матрицы.






Рассмотрим k столбцов и k строк матрицы, выбранных произвольно. Из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Этот определитель называется минором матрицы.

Часть миноров может обращаться в нуль.

Определение. Наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.

Для отыскания ранга матрицы вводят понятия элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:

  1. Умножение строки на число, неравное нулю.
  2. Сложение строк.
  3. Перестановка строк.
  4. То же для столбцов.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

На основании этой теоремы матрица приводится к виду:

Звездочкой обозначены элементы, значения которых для нас безразличны.

Отсюда видно, что Rg A = r.

П р и м е р.Определить ранг матрицы.

(2)-(1)∙2 (2)∙(-1) (3)-(2)∙5 (3):(-18)

(3)-(1)∙3 (3)∙(-1)

RgA = 3

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

Если число уравнений равно числу неизвестных (m = n), то система имеет единственное решение, когда определитель системы ∆ ≠ 0. Если ∆ = 0, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений вообще.

Выясним условие совместности системы. Рассмотрим матрицу

Теорема Кронекера–Капелли. Система (1) имеет хотя бы одно решение в том и только том случае, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы

П р и м е р ы. Проверить, будет ли совместна система и в случае совместности решить.

1. x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 1,
x1 – 2x2 + 3x3 – 4 x4 + 5x5 = 2,
2x1 +11x2 + 12x3 + 25x4 + 22x5 = 4.

(2) - (1) (3) + (2)

(3) – (1)∙2

RgA = 2, RgĂ = 3, система не совместна.

2. 3x1 + 2x2 + x3 = 10,
x1 + 2x2 + 3x3 = 14,
x1 + x2 + x3 = 6,
2x1 + 3x2 – x3 = 5,
x1 + x2 = 3.

(2) – (1)∙ 3 (2):(-4) (3) + (4)
(3) – (1)
(4) – (1)∙2
(5) – (1)

(4): (-3) (3) + (4)
(3)→(5)

Запишем получившуюся систему.

x1 + 2x2 + 3x3 = 14, x3 = 3, x2 = 8 – 2x3 = 2, x1 = 14 – 2x2 – 3x3 = 14- 4 -6 = 1

x2 + 2x3 = 8,
x3 = 3.

 

3. 2x1 + x2 – x3 = 5
x1 – 2x2 + 2x3 = -5
7x1 + x2 – x3 = 10.

 

 

x1 – 2x 2 + 2x3 = -5, x2 = 3 + x3,
x2 - x3 = 3. x1 = -5 + 2x2 – 2x3 = -5 + 6 + 2x3 – 3x3 = 1.

Ответ (1; 3 + х3; х3) – бесконечное множество решений (ранг матриц равен двум, а число неизвестных равно трем, т.е. число неизвестных больше ранга матрицы).







Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 515. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Краткая психологическая характеристика возрастных периодов.Первый критический период развития ребенка — период новорожденности Психоаналитики говорят, что это первая травма, которую переживает ребенок, и она настолько сильна, что вся последую­щая жизнь проходит под знаком этой травмы...

РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ Ревматические болезни(или диффузные болезни соединительно ткани(ДБСТ))— это группа заболеваний, характеризующихся первичным системным поражением соединительной ткани в связи с нарушением иммунного гомеостаза...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия