Студопедия — Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Тригонометрическая форма записи числа. Формула муравла.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Тригонометрическая форма записи числа. Формула муравла.






Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ;

Из определения следуют следующие формулы:

Для числа z = 0 аргумент не определен.

Главным значением аргумента называется такое значение φ, что . Обозначается: arg(z).

Свойства аргумента:

1. - аргумент от произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел
2. - аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов этих чисел
3.  
4. - аргумент от сопряженного к комлексного числа равен отрицательному значению аргумента от этого числа.

Модулем комплексного числа z = x + iy называется вещественное число |z| равное:

Для любых комплексных числе z, z1, z2 имеют место следубщие свойства модуля:

1. , причем |z| = 0 тогда и только тогда, когда z = 0
2. - неравенство треугольника для комплексных чисел
3.
4.
5. для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности |z1 − z2| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости

ригонометрическая форма записи комплексного числа:

Показательная форма записи комплексного числа:

где r - модуль, а φ; - аргумент комплексного числа.

Для тригонометрической формы записи верны следующие свойства:

1.
2.
3.

Для показательной формы записи справедливы следующие свойства:

1.
2.
3.
4.
5.

Формула Муавра:

 

5. Извлечение корня n-степени из комплексного числа?

Корнем n -й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n -я степень которого равна подкоренному числу.
Таким образом, равенство:

равносильно равенству

 

r n (cos n y + i sin n y) = r (cos j + i sin j)

Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.

 

r n = r, n y = j + 2 k p,

откуда

 

где есть арифметическое значение корня и k - любое целое число. Таким образом мы получаем:

(16)

т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.
В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:

k = 0, 1, 2,..., (n -1) (17)


Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16) будут различными при двух различных значениях k = k 1 и k = k 2 тогда, когда аргументы и отличаются не кратным 2p, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2p.
Но разность (k 1 - k 2) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность

 


не может быть кратна 2p, т.е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня.
Пусть теперь k 2 - целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде:

 

k 2 = qn + k 1


где q - целое число и k 1 - любое число из ряда (17), а потому

 

,

т.е. значению k 2 соответствует то же значение корня, что и значению k 1, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r = 0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.

 

6.Многочлены. Деление многочленов с остатком?

Многочлен или полином (от греч. «поли» - много и лат. «номен» - имя) – класс элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные коэффициенты, x – переменная.

Многочлены применяются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, отрицательных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Использование полиномиальных вычислений значительно упрощает выражение свойств разных объектов.

Основные определения многочлена:
• Каждое слагаемое полинома называется одночленом или мономом.
• Многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом или биномом.
• Коэффициенты полинома – вещественные или комплексные числа.
• Если старший коэффициент равен 1, то многочлен называют унитарным (приведенным).
• Степени переменной в каждом одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью называется целое число, равное сумме всех степеней.
• Одночлен, соответствующий нулевой степени, называется свободным членом.
• Многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень, называется однородным.

Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .

Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.

Пример. .

.

Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что и .

Доказательство. Существование.

Пусть . Положим .

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :

Пусть . Положим

Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1) . Значит, ,

2) .


Получили противоречие. Этот случай невозможен.







Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 4115. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Схема рефлекторной дуги условного слюноотделительного рефлекса При неоднократном сочетании действия предупреждающего сигнала и безусловного пищевого раздражителя формируются...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия