Студопедия — Условие совместности системы линейных уравнений
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Условие совместности системы линейных уравнений






 

Рассмотрим систему (5.3) линейных уравнений с неизвестными. Составим блочную матрицу, приписав к матрице справа столбец свободных членов. Получим расширенную матрицу системы:

 

(5.7)


Эта матрица содержит всю информацию о системе уравнений, за исключением обозначений неизвестных.


Теорема 5.2 Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: .

 

Необходимость следует из равенства (5.5) и следствия 1 теоремы 3.3. Если система имеет решение, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы системы. Поэтому при вычеркивании столбца Ь из расширенной матрицы ее ранг не изменяется. Следовательно, .

 

Для доказательства достаточности нужно использовать теорему о базисном миноре. Из равенства следует, что базисный минор матрицы является базисным минором расширенной матрицы . Поэтому столбец является линейной комбинацией столбцов базисного минора матрицы , а, значит, и всех столбцов матрицы . Следовательно, существуют числа , удовлетворяющие условию (5.5), т.е. система совместна.

 

Замечание 5.2. Теорема Кронекера-Капелли дает лишь критерий существования решения системы, но не указывает способа отыскания этого решения.

 

 

Пример 5.2. Определить, имеет ли система уравнений решения

 

 

Решение. Составим матрицу системы и расширенную матрицу системы

 

Ранг матрицы равен 2, так как она имеет не равные нулю миноры второго порядка и третья строка этой матрицы равна сумме первых двух строк. Следовательно, третью строку можно вычеркнуть, при этом ранг матрицы не изменится. Ранг расширенной матрицы равен трем, так как она имеет не равный нулю минор третьего порядка, например, минор, составленный из первого, второго и последнего столбцов расширенной матрицы

 

Следовательно, . Поэтому система несовместна (не имеет решений).







Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 464. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Выработка навыка зеркального письма (динамический стереотип) Цель работы: Проследить особенности образования любого навыка (динамического стереотипа) на примере выработки навыка зеркального письма...

Словарная работа в детском саду Словарная работа в детском саду — это планомерное расширение активного словаря детей за счет незнакомых или трудных слов, которое идет одновременно с ознакомлением с окружающей действительностью, воспитанием правильного отношения к окружающему...

Правила наложения мягкой бинтовой повязки 1. Во время наложения повязки больному (раненому) следует придать удобное положение: он должен удобно сидеть или лежать...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия