Студопедия — ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ






 

1. Доказать, что для любых матриц A, B, C для которых определены A×B и B×C, имеет место равенство: A×(B×C)=(A×B)×C.

2. Доказать (лемма о транспонировании произведения матриц), что для любых матриц A и B, для которых определено произведение A × B, имеет место равенство: (A × B)t = B t × A t.

3. Доказать, что всякую квадратную матрицу можно представить в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц. (A называется симметрической, если A = A t, и кососимметрической, если A = - A t).

4. Доказать тождество Якоби: [[ A,B ], C ] + [[ B,C ], A ] + [[ C,A ], B ] = 0, где [ A,B ]= A × B - B × A означает скобочное умножение.

5. Доказать, что если A,B - квадратные матрицы одного и того же размера, то сумма коэффициентов по главной диагонали для матриц A×B и B×A одинакова.

6. Доказать, что число различных чётных перестановок порядка n равно числу нечётных.

7. Среди перестановок порядка n указать перестановку с наибольшим числом инверсий. Вывести формулу для этого числа.

8. Перечислить все перестановки 4-го порядка с 0,1,2,3,4,5 и 6 инверсиями (сгруппировать по числу инверсий).

9. Доказать свойства определителя: а) определитель равен нулю, если равна нулю некоторая строка матрицы, б) определитель равен нулю, если две каких-либо строки матрицы равны, в) определитель меняет знак на противоположный при перестановке 2 строк.

10. Доказать формулы Крамера.

11. Доказать равенство: det(A×B)=det(A)×det(B).

12. Пусть квадратные матрицы. Доказать,

что .

13. Доказать, что если для всех , то для некоторого . (A, X – квадратные матрицы, E – единичная матрица).

14. Доказать, что если определитель матрицы равен нулю, то одну

из ее строк можно представить в виде суммы других строк с некоторыми коэффициентами.

15. Доказать, что определитель не меняется при транспонировании матрицы.

16. Доказать, что ранг произведения матриц не выше любого из

рангов сомножителей.

17. Пусть r - ранг матрицы. Доказать, что можно выбрать r базис-ных столбцов так, что любой столбец матрицы можно представить

в виде суммы базисных столбцов с некоторыми коэффициентами.

18. Доказать теорему о существовании и единственности обратной матрицы.

19. Доказать теорему Кронекера-Капелли.

20. Доказать, что ранг суммы матриц не более суммы рангов слага-

емых.

21. Доказать, что если системы A×X = B и A- 1 ×; X = B имеют одно и

то же решение, то это же решение будет иметь система A 3 ×X=B.

22. Пусть - некоторое решение неопределённой системы A×X = B. Доказать, что любое другое решение этой системы можно представить в виде: , где - некоторое решение однородной системы .

23. Доказать, что множество решений системы линейных уравне-ний не меняется при следующих элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы:

а) перестановка строк;

б) умножение строки на число не равное нулю;

в) прибавление к одной строке другой строки, умноженной на любое число;

г) перестановка столбцов, исключая последний (при этом меняются местами соответствующие неизвестные системы).

24. Квадратные матрицы А, обладающие свойством A×A t = E на-зываются ортогональными. Доказать, что произведение ортогона-льных матриц - тоже ортогональная матрица, обратная к ортогона-льной матрице - тоже ортогональная матрица.

25. Показать, что если все коэффициенты квадратной матрицы, стоящие на главной диагонали и ниже, равны нулю, то n-я степень этой матрицы равна нулю, где n - число строк матрицы.

 

 

2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

 

Задание 2.1

 

 

Сначала выберите вариант. Вариант определяется номером n. По номеру найдите значения 6 параметров рi, i = 2, 3, …, 7, по прави-

лу: рi равно остатку от деления n на i. (Например, если n = 58, то ).

Вычислить выражение

.

 

Задание 2.2

 

 

По правилу треугольников найти определитель матрицы А раз-

мера 3 ´ 3.

Матрицу А взять из табл. 2.2, вычеркнув последний столбец

из матрицы Ар.

 

Задание 2.3

 

 

Пользуясь программным обеспечением ЭВМ, найти определи-

тель матрицы А размера 4 ´ 4.

Матрицу А взять из табл. 2.3, вычеркнув последний столбец

из матрицы Ар.

Задание 2.4

 

Найти определитель матрицы А размера 3 ´ 3, взятой из нижес-

ледующей табл. 2.1.

При решении использовать элементарные преобразования над строками или столбцами матрицы, не изменяющие определителя.

Сначала уменьшить элементы матрицы путём вычитания из одной строки (или столбца) другой строки (или столбца), умноженной

на некоторое число. Затем, с помощью этого же преобразования,

получить два нуля в одной строке (или столбце). Наконец, раз-

лагая определитель по этой строке (или столбцу), свести вычис-

ления к определителю 2-го порядка.

 

Таблица 2.1

К заданию 2.4







Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 559. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

В эволюции растений и животных. Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений. Оборудование: гербарные растения, чучела хордовых (рыб, земноводных, птиц, пресмыкающихся, млекопитающих), коллекции насекомых, влажные препараты паразитических червей, мох, хвощ, папоротник...

Типовые примеры и методы их решения. Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка...

Выработка навыка зеркального письма (динамический стереотип) Цель работы: Проследить особенности образования любого навыка (динамического стереотипа) на примере выработки навыка зеркального письма...

Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл...

Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия