Тема 1.3. Выбор и альтернативная стоимость

Средняя скорость - это некоторая постоянная фиктивная скорость, с которой должны двигаться через поперечное сечение все частицы жидкости, чтобы ее расход равнялся расходу при движении с

Рис. 1.27. Схема к определению распределения скоростей и расхода жидкости при

ламинарном движении: а – поток жидкости, движущейся в трубе; б – элементарный слой движущейся жидкости

Вследствие действия между слоями сил трения слои будут двигаться с неодинаковыми скоростями. Центральный цилиндрический слой у оси трубы имеет максимальную скорость, но по мере удаления от оси скорость элементарных кольцевых слоев будет уменьшаться. Непосредственно у стенки жидкость как бы «прилипает» к стенке, и ее скорость здесь обращается в нуль.

 

Выделим в потоке жидкости, ламинарно движущемся по трубе радиусом R (Рис. 1.27, б), цилиндрический слой длиной l и радиусом r.

Движение слоя происходит под действием разности сил давления Р₁ и P₂ с обеих торцовых сторон цилиндра:

, (1.81)

где p₁, p₂ - гидростатические давления в сечениях 1-1 и 2-2.

Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внутреннего трения Т, для которой справедливо выражение

,

где u_r - скорость движения жидкости вдоль оси цилиндра на расстоянии r от оси; F = - наружная поверхность цилиндра; m - вязкость жидкости.

Знак минус указывает на убывание скорости с увеличением радиуса r (при r = R величина = 0).

При установившемся движении разность сил давления P₁ - Р₂ затрачивается на преодоление силы трения T, и сумма проекций всех этих сил на ось потока должна быть равна нулю. Вследствие трения движение рассматриваемого цилиндрического слоя тормозится, значит, сила трения, приложенная к его боковой поверхности, направлена противоположно разности P₁ - Р₂ и проектируется на ось, направление которой совпадает с направлением движения, со знаком минус. Следовательно,

или , (1.82)

откуда, после сокращения и разделения переменных, получим

. (1.83)

Переходя ко всему объему жидкости в трубе, проинтегрируем это дифференциальное уравнение, учитывая, что радиус в левой части уравнения изменяется от r до r = R, а переменная скорость в правой части - от u = u_r до u = 0 (у стенки, где r = R).

. (1.84)

Тогда

. (1.85)

Скорость имеет максимальное значение на оси трубы, где r = 0,

. (1.86)

Сопоставляя выражения (1.85) и (1.86), находим

. (1.87)

Уравнение (1.87) представляет собой закон Стокса, выражающий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.

Для определения расхода жидкости при ламинарном движении рассмотрим элементарное кольцевое сечение (см. Рис. 1.27, б) с внутренним радиусом r и внешним радиусом (r + dr), площадь которого равна dS = 2prdr. Объемный расход жидкости через это сечение составляет

, (1.88)

или с учетом уравнения (1.85)

. (1.89)

Интегрируя последнее уравнение, получим общий расход жидкости через трубу

. (1.90)

Подставляя вместо R диаметр трубы d = 2R и обозначая (р₁ — р₂) = Dр, окончательно находим

. (1.91)

Уравнение (1.90) или (1.91), определяющее расход жидкости при ее ламинарном движении по круглой прямой трубе, носит название уравнения Пуазейля.

Соотношение между средней скоростью v и максимальной скоростью v _max можно получить, сопоставив значение Q из уравнений (1.70) и (1.90),

и ,

откуда

. (1.92)

Сравнивая уравнения (1.86) и (1.92), находим

. (1.93)

Таким образом,при ламинарном потоке в трубе средняя скорость жидкости равна половине скорости по оси трубы.

Соответственно параболический закон распределения скоростей по сечению трубы, выражаемый уравнением (1.87), может быть представлен в виде

. (1.94)

Уравнение неразрывности (сплошности) потока. Установим общую зависимость между скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается условие сплошности или неразрывности движения, т. е. не образуется пустот, не заполненных жидкостью.

Выделим внутри потока элементарный параллелепипед объемом dV = dx dy dz, ребра которого ориентированы параллельно осям координат (Рис. 1.28). Пусть составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площадью dS = dy dz, равна u_x.

Тогда, согласно уравнению массового расхода, через эту грань в параллелепипед войдет вдоль оси х за единицу времени масса жидкости r u_x dy dz, а за промежуток времени dt - масса жидкости

M_x = r u_x dy dz dt, (1.95)

где r - плотность жидкости на левой грани параллелепипеда.

На противоположной (правой) грани параллелепипеда скорость и плотность жидкости могут отличаться от соответствующих величин на левой грани и будут равны и .

Тогда через правую грань параллелепипеда за то же время dt выйдет масса жидкости

. (1.96)

Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси x

. (1.97)

Если составляющие скорости вдоль осей у и z равны u_y и u_z, то приращения массы в элементарном объеме вдоль этих осей по аналогии составят

, (1.98)

. (1.99)

Общее накопление массы жидкости в параллелепипеде за время dt равно сумме ее приращений вдоль всех осей координат:

. (1.100)

Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объеме параллелепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объеме. Поэтому

. (1.101)

Приравнивая оба выражения dM, сокращая на (- dx dy dz) и перенося в левую часть уравнения, окончательно получим

. (1.102)

Уравнение (1.102) представляет собой дифференциальное уравнение неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости.

Уравнение (1.102) может быть записано и в несколько иной форме. Проводя дифференцирование произведения , получим

или

, (1.103)

где - субстанциональная производная плотности.

В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т. е. = 0, и уравнение (1.102) принимает вид

. (1.104)

Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы, а также для газов в условиях изотермического потока при скоростях, значительно меньших скорости звука, r = const и, следовательно,

. (1.105)

Уравнение (1.105) является дифференциальным уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости.

Сумма изменений скорости вдоль осей координат в левой части уравнения (1.105) называется дивергенцией вектора скорости и обозначается через div u. Поэтому данное уравнение можно представить как

. (1.105a)

Для того чтобы перейти от элементарного объема ко всему объему жидкости, движущейся сплошным потоком по трубопроводу переменного сечения (рис. 1.29), проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.104).

Если бы площадь сечения трубопровода не изменялась, то для установившегося однонаправленного движения (в направлении оси х) интегрирование уравнения (1.104) дало бы зависимость const, где u - средняя скорость жидкости.

Если же площадь сечения S трубопровода переменна, то, интегрируя также по площади, получим

const. (1.106)

Для трех различных сечений (1-1, 2-2 и 3-3) трубопровода, изображенного на Рис. 1.29, имеем

, или , (1.106a)

где - массовый расход жидкости, кг/с.

Выражение (1.106) или (1.106а) представляет собой уравнение неразрывности (сплошности) потока в его интегральной форме для установившегося движения. Это уравнение называется также уравнением постоянства расхода. Согласно уравнению постоянства расхода, при установившемся движении жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его поперечное сечение проходит в единицу времени одна и та же масса жидкости. Для капельных жидкостей const, и уравнение (1.106) принимает вид

const. (1.107)

Следовательно,

const или , (1.107a)

где Q = uS - объемный расход жидкости, м³/с.

Из уравнения (1.107а) следует, что скорости капельной жидкости в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Согласно уравнению (1.107) массовый расход жидкости через начальное сечение трубопровода равен ее расходу через конечное сечение трубопровода. Таким образом, уравнение постоянства расхода является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока.

В некоторых случаях, например при вскипании жидкости вследствие резкого понижения давления, образуется пар, что может привести к разрыву потока. В таких условиях, наблюдаемых иногда при работе насосов, уравнение неразрывности потока не выполняется.

 

Тема 1.3. Выбор и альтернативная стоимость

Экономический выбор. Метод научной абстракции. Стоимость. Потребительная и меновая стоимость. Альтернативная стоимость. Альтернативные затраты.

 

Экономический выбор.

Экономический выбор – способ распределения ограниченных ресурсов, который позволяет добиться максимума благ.

Но выбор – всего лишь волевой акт. Необходима еще материальная сила, которая смогла бы реализовать, осуществить этот выбор. Такой материальной силой является производство. Экономика – это производство, реализующее свободный выбор каждого его участника. Итак, выбор очередности удовлетворения потребностей превращает абсолютную ограниченность ресурсов в относительную, а производство – в экономику.

Любое общество, является ли оно полностью коллективизированным коммунистическим государством, капиталистической индустриальной нацией, племенем индейцев, затерянным в джунглях Амазонки или даже если оно состоит из одного Робинзона, должно решать тем или иным путем три коренные взаимосвязанные экономические проблемы (три главных вопроса), представленные на рис 3.2.

Рис. 3.2. Три основных вопроса экономики

Эти три вопроса – основные и общие для всех экономических систем, но способы их решения в каждой экономической системе разные. В условиях слаборазвитого общества поведение людей определяется обычаями и при решении вопросов: что, как и для кого производить? – можно обращаться к традициям и обычаям, закрепленным веками. Представителям другой культуры такая практика может показаться странной и безрассудной, но сами члены племени настолько привыкли к существующей практике, что будут удивлены и даже обижены, если их спросят о мотивах поведения.

В командной экономике (например, СССР) на эти фундаментальные вопросы ответ давало государство в лице своих административных органов (министерств, ведомств, комитетов). Этот антирыночный мир был основан на директивном планировании, государственных фондах ресурсов, закреплении предприятий-поставщиков за предприятиями-потребителями, талонной системе продажи товаров народного потреб ления и нескончаемых очередях за самыми разными благами и услугами. Одновременно на складах хранилось огромное количество продукции, не востребованной потребителем, но произведенной по плану.

Рыночная экономика в своем чистом виде предполагает наличие ответственных и самостоятельных производителей и потребителей. Производители производят те товары, от продажи которых они рассчитывают получить прибыль. Следовательно, еще до начала производственной деятельности они должны знать, для кого производят продукцию, какими потребительскими свойствами она должна обладать, когда ее нужно произвести и сколько. При этом производители используют те средства производства, которые позволяют максимально сэкономить затраты, ибо их они покрывают из собственного кармана. Понятно, что уровень потребления будет зависеть от полученных доходов. Иначе говоря, производитель будет производить для того, кто заплатит.

Таким образом, рыночная экономика – это такая форма организации хозяйства, при которой индивидуальные производители и потребители взаимодействуют посредством рынка, отвечая на вопросы: что, как, для кого производить – с помощью системы цен, прибылей и убытков, спроса и предложения.

 

 

Метод научной абстракции.

 

Метод научной абстракции. Научная абстракция есть мысленное отвлечение от несущественных сторон, свойств явлений (внешней видимой формы) и отыскание главного, наиболее существенного в них.