Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении, в которой выделим два сечения 1-1 и 2-2. Площади живых сечений потока обозначим dS₁ и dS₂. Давления и скорости жидкости в этих сечениях имеют значения p₁, p₂ и u₁, u₂ соответственно. За время dt объем жидкости 1122 переместится в положение 1¢1¢2¢2¢;. Закон сохранения механической энергии:работа, совершаемая силами давления над выделенным объемом жидкости идет на приращение его механической энергии (кинетической и потенциальной):

А = DП + DК.

Обозначим объем 1122 – V, объем 1¢1¢2¢2¢ - V¢, объем 111¢1¢ - V₁, объем 222¢2¢- V₂, объем 1¢1¢22 – V₀.

Сила давления p₁dS₁ перемещает за время dt выделенный объем на расстояние u₁dt совершает положительную работу А₁ = p₁dS₁u₁dt (сила и перемещение сонаправлены). Сила давления p₂dS₂ перемещает за время dt выделенный объем на расстояние u₂dt совершает отрицательную работу А₂ = - p₂dS₂u₂dt (сила и перемещение противоположно направлены). Тогда работа сил давления составит:

А = p₁dS₁u₁dt - p₂dS₂u₂dt.

Вес объемов V и V¢ одинаков, тогда:

G₁ + G₀= G₀ + G₂

G₁ = G₂ = dG

G₁ = dG = rgV₁ = rgu₁dt dS₁, G₂ = dG = rgV₂ = rgu₂dt dS₂.

Потенциальная энергия объема V: П = П₁ + П₀ = G₁z₁ + П₀ = rgu₁dt dS₁z₁ + П₀.

Потенциальная энергия объема V¢: П¢ = П₂ + П₀ = G₂z₂ + П₀ = rgu₂dt dS₂z₂ + П₀ .

Здесь z₁ и z₂ – расстояния центров тяжести объемов V₁ и V₂ до произвольно выбранной линии сравнения 0-0. приращение потенциальной энергии равно:

DП = П¢ - П = G₂z₂ - G₁z₁ = (z₂ – z₁)dG = z₂dG - z₁dG.

Кинетическая энергия объема V: .

Кинетическая энергия объема V¢: .

Приращение кинетической энергии равно:

.

Закон сохранения энергии:

.

Разделим на dG = rgu₁dt dS₁ = rgu₂dt dS₂. Получим:

или

.

Так как сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, то для любого сечения элементарной струйки невязкой жидкости имеет место

.

Это соотношение называется уравнением Бернулли элементарной струйки невязкой жидкости. Н_d – гидродинамический напор.