П Р О Г Р А М М А

П Р О Г Р А М М А

 

по курсу СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ

по направлению 010900 «Прикладные математика и физика»

факультет ФУПМ

кафедра математических основ управления

курс III

семестр 6, 8

Трудоёмкость: базовая часть – зач. ед.

вариативная часть – зач. ед.

по выбору студента – зач. ед.

лекции – 32 часа Экзамен –

практические (семинарские)

занятия – 32 часа Диф. зачет – семестр

лабораторные занятия – нет Самостоятельная работа –

2 часа в неделю

ВСЕГО ЧАСОВ – 64

Программу и задание составил:

доцент А. В. Гасников, ассистент Е. О. Черноусова.

Научные консультанты: Г. К. Голубев, О. Г. Горбачев, С. А. Гуз, А. В. Колесников (ВШЭ), В. А. Малышев (МГУ), А. Н. Соболевский, В. Г. Спокойный, Б. Т. Поляк (ИПУ РАН)

 

Программа принята на заседании

кафедры математических основ управления

12 января 2012 года

Заведующий кафедрой С. А. Гуз

 

Около двух лет в МФТИ работает учебно-методический семинар кафедры МОУ ФУПМ “Стохастический анализ в задачах”:

http://dame.mipt.ru/studyandscience/stohanaliz.html,

на базе которого и был разработан предлагаемый курс по выбору. Главными отличительными особенностями курса являются: а) широкий спектр представленного материала, б) отражение ряда современных течений и в) нацеленность на приложения. Отметим несколько важных современных течений, нашедших отражения в курсе: понятие равновесия макросистемы = эргодическая теорема + явление концентрации меры, стохастические транспортные (компьютерные) сети при термодинамическом предельном переходе, стохастическая оптимизация в пространствах огромной размерности, вероятностные методы в комбинаторике и теории чисел, вероятностные и рандомизированные алгоритмы. Следует заметить, что по замыслу авторов предлагаемый курс должен выполнять функции своеобразного мостика, связывающего (стохастическими нитями) различные (обязательные) и альтернативные курсы, которые читаются на кафедре МОУ ФУПМ (и на некоторых других кафедрах МФТИ). Несмотря на широкий спектр представленных тем, основной акцент будет делаться на формирование у слушателей геометрической интуиции путем разбора большого количества задач, имеющих много общих черт и пришедших из самых разных приложений. Такая интуиция позволит единообразно понимать многообразие асимптотических результатов стохастической науки, как проявление одного общего принципа “концентрации меры”. Речь идет о том, что если жизнь стохастической системы разворачивается в вероятностном пространстве большой размерности, причем система характеризуется некоторой “хорошей” функцией (или даже функциями), определенной на этом вероятностном пространстве, и, кроме того, вероятностная мера также более менее хорошая, то вероятность того, что эта функция примет значение едва ли заметно отличающееся от медианы (математического ожидания) этой функции ничтожно мала. Угадать (прочувствовать) такого рода явления в различных задачах, как правило, намного более простая задача, чем это строго доказать. Первоочередной целью курса является формирования у слушателей соответствующей интуиции. Наряду с этим, много внимание будет уделяться различным приемам доказательства обнаруженных предельных (асимптотических) результатов. Прежде всего, речь идет об аппарате производящих функций и методе перевала.

Курс поддержан Лабораторией структурных методов анализа данных в предсказательном моделировании, ФУПМ МФТИ, грант правительства РФ дог. 11 11.G34.31.0073.

 

1. Парадоксы в теории вероятностей.

2. Сложность и случайность.

3. Вероятностный анализ алгоритмов (сложность в среднем, сложность для почти всех входов), вероятностные алгоритмы и их анализ (проверка тождеств с помощью метода Монте-Карло, вероятностное округление), дерандомизация, вероятностные вычисления.

4. Явление концентрации меры (А. Пуанкаре, П. Леви, В. Мильман, М. Громов, М. Талагран) или геометрическое (изопериметрическое) толкование предельных теорем и законов больших чисел теории вероятностей. Приложения явления концентрации меры.

5. Производящие (характеристические) функции в теории вероятностей и (асимптотической) комбинаторике

6. Вероятностный метод в комбинаторике.

7. Эргодическая теория марковских процессов и её приложения (задача о разборчивой невесте, о случайных блужданиях и мыльных пленках о парадоксе Эренфестов и концепции равновесия макросистемы).

8. Сети массового обслуживания (при термодинамическом предельном переходе). Понятие о скейлингах марковских процессов.

9. Вероятностные методы в теории чисел.

10. Элементы теории Вапника–Червоненкиса, байесовские методы, машинное обучение.

11. Методы Монте-Карло. Стохастическая оптимизация. Субоптимальные вероятностные приближенные алгоритмы выпуклой оптимизации. Markov chain Monte Carlo revolution.

12. Приложения вероятностных методов в экономике (финансовой математике), биологии, физике, машинном обучении.

 

Литература

1. Гасников А.В., Черноусова Е.О., Нагапетян Т.А. Стохастический анализ в задачах // Математическое просвещение, № 16. 2012.

2. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.-И.: РХД, 2002.

3. http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-probability.pdf

4. http://mech.math.msu.su/~malyshev/Malyshev/Lectures/course.pdf

5. http://www.math.duke.edu/~rtd/PTE/PTE4_Jan2010.pdf

6. ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/kolmbook.pdf

7. Motwani R., Raghavan P. Randomized algorithms. Cambridge Univ. Press, 1995.

8. Ledoux M. Concentration of measure phenomenon, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2001 (Math. Surveys Monogr. V. 89)

9. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: МЦНМО, 2004.

10. Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. М.: МЦНМО, 2009.

11. Леонтьев В.К. Избранные задачи комбинаторного анализа. М.: МГТУ, 2001.

12. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир & Бином, 2004.

13. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/book.pdf

14. Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод. М.: Бином, 2006.

15. Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. 2. М.: МЦНМО, 2010.

16. http://zoneos.com/traffic/

17. http://frtk.ru/forstudents/study/studyMaterials/4kurs/TMO2010-arpggwlikuv.pdf

18. Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. М.: ИЛ, 1963.

19. Червоненкис А.Я. Компьютерный анализ данных. Яндекс, 2009.

20. http://www2.isye.gatech.edu/~nemirovs/

21. http://www-stat.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/MCMCRev.pdf

22. http://www.machinelearning.ru/

 

 

Подписано в печать …0.02.2012. Формат 60 ´ 84 .

Усл. печ. л. 0, 5. Тираж 50 экз. Заказ № …

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский физико-технический институт»

(государственный университет)

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

E-mail: [email protected].

______________________________________________________________

Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9