Криволинейный интеграл l-го рода, его механический смысл. Вычисление, пример.

т. М_о- материальная точка кривой; Δl длина и дуга кривой, которой принадлежит т. М₀; Δm –масса кусочка Δl

Если существует конечный limΔ_l->0Δm/ Δl=j(М₀) [М₀ cΔl]он наз-ся линейной плотностью кривой в М_0. Будем полагать, что известно j(М₀)-непрерывная функция(m ищем по плоскости). Разобьём кривую l последовательностью А₀ А₁,… А_n на каждой из малых дуг (А_i-1 А_i) c M_i(x_i y_i z_i)i=1…n j(М) непрерывна

Из определения линейной плотности вытекает что в случае однородной материальной кривой m=l* j₀

j₀-постоянная,т.к. j(М)= limΔ_l->0Δm/ Δl

Обозначим Δm_i дуги А_i-1 А_i, , m=_i=1Σⁿ Δm_i

Будем считать. Что А_i-1 А_i настолько малы, что

j(М)= j(М_i)это приближенное равенство тем точнее, чем меньше дуга А_i-1 А_i(это достигается увеличением числа точек А_n), поэтому обоз-в Δl_i длину А_i-1 А_i можем восп-ся m=l* j₀ => m= Δl_i* j(М_i). Тогда m = _i=1Σⁿ j(М_i)* Δl_i обозначим λ=мах _i=1(diam А_i-1 А_i) – ранг разбиения кривой n→∞,если λ→0, то длина А_i-1 А_i→0.

Если существует конечный lim_{λ→0 i=1}Σⁿ j(М_i)* Δl_i=m. j(М) = j(x,y,z) в кач-ве jможем взять любую фун-ию заданную кривой j. Составим интегральную сумму и рассмотрим её предел при

λ→0, если он существует и конечен и не зависит ни от способа разбиения кривой Г, ни от способа выбора т М_i, то он наз-ся криволинейным 1-ого рода от фун-ии Г и обоз-ся:

_Г∫ j(М)dl = _Г∫ j(x,y,z)dl

Теорема существования:

] кривая Г задана параметрически (x(t),y(t),z(t)) – непрер диффир) Тогда j(М) непрер на Г, то существ _Г∫ j(М)dl. Формула для вычисления интеграла 1-ого рода. При выполнении условий теор существ мб доказана след формула:

_Г∫ j(М)dl= _a∫^b j(x(t),y(t),z(t))*√ ((x’(t))², (y’(t))², (z’(t))²)dt

Пример:

] Г задана ур-ями x=a*cost y=asint z=t t[0,2п] Г мат крив и имеет плот-ть j(x,y,z)=z+1

m= _Г∫ (z+1)dl = ₀∫^2п((t+1)√a²sin²t+a²cos²t+1)dt =√a²+1₀∫^2п((t+1)dt=t²/2+t ₀|^2п=2п(2п+1)√a²+1

 

5. Поверхностный интеграл 1-го рода, его механический смысл. Вычисление. Те-
орема существования.

Обозначим m-массу материальной пов-ти S Будем считать, что из-тна j(M) в каждой т M M₀ cS ΔS → M₀.

diam ΔS обозначим Δm-массу кусочка ΔS ΔS=Δm/ ΔS

Если существует конечный lim Δm/ ΔS {M₀ cS, diam ΔS->0} –наз-ся плотностью =j(M₀)

j(M)-непрер на S. Заметим, что в случае однородности повер-ти m=j₀*S

j₀ – плоскость. Разобьём поверхность S=U₁S_i. В каждом ΔS_i берем точки M_i

ΔS_i-> M_i(x_i y_i z_i)i=1…n Из непрерывности j(М)

=>что j(М) j(М_i) для любого М с j(M₀), если

diam ΔS_i мал. Равенство тем точнее, чем меньше diam ΔS_i λ=max(diam ΔS_i) –ранг разбиения поверхности. Обозначим Δm_i – масса ΔS_i =>можно применить в приближенном варианте формулу m=j₀*S.

Δm_i = j(M_i)* ΔS_i=> m= _i=1Σⁿ Δm_i =

_i=1Σⁿ j(M_i)* ΔS_i. Это равенство тем точнее, чем меньше λ. Поэтому естественно считать, что m= lim_{λ→0 i=1}Σⁿ j(М_i)*ΔS_i

Если j(М)-произвольная функция, заданная на поверхности S и существует конечный lim_{λ→0 i=1}Σⁿ j(М_i)*ΔS_i и он не зависит ни от способа разбиения ни от способа выбора т. M_i, то он наз-ся поверхностным интегралом первого рода по поверхности S и обоз-ся

∫∫_S j(М)ds.

Вычисление: S: z=φ(x,y)-непрер диффир в Ъ x=x y=y

∫∫_S j(x,y,z)ds=∫∫_Ъ j(x,y, φ(x,y))* √1+ (φ_x’(x,y))²+(φ_y’(x,y))² dxdy

Теорема существования:

S-гладкая поверхность. ПИ 1рода существует, если j(M)-непрерывна на S.

Вычисление поверхностного интеграла 2-города.

S: z= φ(x,y)-непрер диффир в Ъ тогда z- φ(x,y)=0

F(x,y,z)=0 grad(F(x,y,z))= (ðF/ ðx)i-(ðF/ ðy)j+(ðF/ ðz)k=-(ðφ / ðx)i-(ðφ/ ðy)j+1k≠0=> grad направлен по нормали поверхности

n(M)=gradF(M)/| gradF(M)|=(-φ_xi—φ_yi+k)/(√ (φ’_x)²+(φ’_y)²+1)

Найдём ∫∫_sPdydz+Qdxdz+Rdxdy по поверхности,которую определяет n(m). ∫∫_sPdydz+Qdxdz+Rdxdy=∫∫_s(Ф,—φ_yi+k)/(√ (φ’_x)²+(φ’_y)²+1)ds=∫∫_ъ(Ф,—φ_yi+k)/(√ (φ’_x)²+(φ’_y)²+1)* (√ (φ’_x)²+(φ’_y)²+1)dxdy =∫∫_ъ[(-P* φ’_x – Q*φ’_y+R)]dxdy=∫∫_S Pdydz +Qdxdz +Rdxdy

Дивергенция векторного поля, Формула Остроградского-Гаусса. Пример.

Дивергенция поля Ф (div Ф) = ðP/ðx+ðQ/ðy+ðR/ðz.если div Ф=0,то Ф –соиедальное поле=>в D нет источников и стоков. Формула О-Г: ] V-компакт cR³,граница v=S-гладкая или кусочно гладкая(т.е S можно разбить на конечное число поверхностей, каждая из которых гладкая),на S выбрано внешнее направление нормали, Ф(x,y,z)=Pi+Qj+Rk- непрерыв.диффир=> ∫∫_s(Ф,n)ds=∫∫∫_v[ðP/ðx+ðQ/ðy+ðR/ðz]dv, ∫∫_s(Ф,n)ds=∫∫∫_vdivФdxdydz.

Пример: Ф(x,y,z)=-yi+(y-2z)j+(2x-z)k. п=∫∫_s(Ф,n)ds=∫∫∫_vdivФdxdydz=∫∫∫v0dxdydz=0.divФ=0

Ротор векторного поля, формула Стокса.

] Ф в D и непрерыв-диффирен,тогда ∫_LPdx+Qdy+Rdz=∫∫_s(rotФ,n)ds.На L выбрано + направление обхода.

Опред-е: Ротером векторного поля Ф (rotФ) наз-ся функция: | i j k |

Ф = | ð/ðx ð/ðy ð/ðz| =

| P Q R |

 

= i(ðR/ðy- ðQ/ðz) – j(ðR/ðx- ðP/ðz) + k(ðQ/ðx - ðP/ðy)

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Примеры. Необходимое условие