Линейные дифференциальные уравнения l-го порядка. Пример. Уравнения в полных дифференциалах. Пример.

y’=P(x)y +Q(x)

Q(x) ≡0

y’=P(x)y – однородное линейное уравнение

y’=P(x)y - уравнениями с разделяющимися переменными ó dy/dx= P(x)y ||dx/y y ≡0 dy/y= P(x)dx далее интегрируем

∫dy/y=∫P(x)dx =>ln|y|=∫P(x)dx+C

далее потенцируем: |y|=e^∫P(x)dx+C=e^∫P(x)dx *e^C{=C₁>0}

y= e^∫P(x)dx+/-C₁{=C’≠0 }=C’* e^∫P(x)dx=y(x)

Пример: y’=y+2 P(x)=1 Q(x)=2

y’=y ó y(x)=c*e^x

Будем искать решение в виде y(x) = z(x)e^x

y’=z’e^x+z* e^x= z* e^x+2 ó z’e^x=2 =>

z’=2* e^-x=>z(x)= ∫ z’(x)dx= 2*(e^-x/(-1))+C=

-2 *e^-x+C=>y(x)=(-2* e^-x+C) e^x= -2+C* e^x

Уравнения в полных дифференциалах:

Дифференциальные уравнения y’=f(x,y) мб записаны в виде P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) т.к P(x,y)+Q(x,y) dy/dx=0 ó y’= - ((P(x,y))/(Q(x,y))) {=f(x,y)} y’=f(x,y) ó dy/dx=f(x,y) ó 1dy – f(x,y)dx=0

Определение: Уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует непрерывно дифференцируемая функция Q(x,y),такая что dU=Pdx+Qdy,т.е. U(x,y) - не является потенциалом поля с координатами (P (x,y) Q(x,y)) Пример?????

25. Дифференциальные уравнения 2-го порядка.' Основные определения, теореме,
существования и единственности. Пример.

F(x,y,y’,y’’)=0 (1) Оно называется разрешённым, если y’’=f(x,y,y’) – (2)

y’’=g

y’=∫y’’(x)dx +C₁ = gx+ C₁=>y(x)= ∫y’(x)dx +C₂=∫(g*x+ C₁)dx+ C₂=g*(x²/2)+ C₁*x+ C₂

Начальные условия: y(x₀)=y₀ (4)

y’(x₀)=y’₀

Теорема существования и единственности:

Если функция f(x,y,y’) и её частные производные ðf/ðy(x,y,y’), ðf/ðy’(x,y,y’) – непрерывны в области GcR³, то для любых точек (x₀,y₀,y₀’)сG существует единственное решение уравнения (2) удовлетворяющее начальным условиям (3). Такая область G называется областью существования и единственности.

 

 

26. Теорема об общем решении однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Теорема об общем решении неoднородного линейного диффе-
ренциального уравнения 2~гo порядка.

Определение: уравнение

A₀*(x)y’’ + A₁*(x)y’+ A₂*(x)y=F(x) -

называется линейным дифференциальным уравнением 2-ого порядка

Теорема об общем решении ОЛДУ:

Если y₁(x) и y₂(x) образуют фер для однородного ЛДУ y’’+a₁(x)*y’+a₂(x)y=0 (1) можно записать в виде

y(x)=C₁*y₁(x)+ C₂*y₂(x)

Теорема об общем решении неоднородного ЛДУ:

Если y(x) –частное решение y’’+a₁(x)*y’+a₂(x)y=f(x) (2) и y₁(x) и y₂(x) образуют фер соответственно однородного (1), то общее решение уравнения (2) запишем в виде y(x)=y(x)+ C₁*y₁(x)+ C₂*y₂(x)

 

27. Однородные линейные дифференциальные уравнения 2~гo порядка с постоян-ными коэффициентами. Пример.

Рассмотрим когда a₁(x) ≡p(p=consx) a₂(x) ≡q(q=consx) в уравнении y’’+a₁(x)*y’+a₂(x)y=0

Тогда оно примет вид: y’’+p*y’+q*y=0 (1)

Пример: y=e^kx, тогда y’=k* e^kx;

y’’=k²* e^kx Подставим в уравнение (1)

k²* e^kx+p* e^kx+q* e^kx=0 || e^kx

k²+p*k+q=0 Если по решению k₁, k₂сR u (k₁≠k₂) то y₁(x)= e^k1x y₂(x)= e^k2x решение уравнения (1)

 

 

Поток векторного поля через поверхность, поверхностный

] существует гладкая поверхность S n=n(M) McS n(M)-непрерывная единичная нормаль |n|=1 для любой McS DcR3 ScD

Предположим, что в D наблюдается течение,установившееся(стационарное) движение, не сжимаемой жидкости. V(x,y,z) – скорость в каждой точки. V(x,y,z)=P(x,y,z)*i+Q(x,y,z)*j+R(x,y,z)*k

P,Q,R - непрерывны в области D. Требуется найти поток жидкости через поверхность S в направлении нормали n(M), т.е. определить V жидкости, протекающий за единицу времени,

через поверхность S в направлении нормали n(M). V-const S-плоская П= V=Sосн*h Vi=ΔSi*h

Vi ≈ n=1Σ∞ΔSi*h=n* n=1Σ∞ΔSi |V|=V(длина V) n=V*sinφ=V*cos(п/2 -φ)=(V,n)=>П=V=S*(V,n) S*(V,n)= П

Поток n(M)(λ→0) S=i=1UnΔSi для любого ΔSiсMi Mi(xi,yi,zi) Пi-поток жидкости через ΔSi П= n=1Σ∞Пi.Для нахождения Пi,заменим поверхность ΔSi частично касательной плоскостью к поверх S,проходящей через Mi. В качестве ΔЪi возьмём проекцию ΔSi на касательную плос-ть в Mi. Такую замену в приближённом варианте можно сделать, т.к касательная плоск-ть тесно прилегает к повер-ти в окрестности т.касания.Поскольку U(cкорость) непрерывна на S,то по св-ву непрерыв ф-ций U(M)=U(x,y,z)=U(Mi). Поэтому для нахождения Пi≈ΔЪi*(V(Mi),ni) для любого i=1..n, т.к. n(M) ≈n(Mi) =ni для любого Мс ΔSi,т.е.)можно считать постоянной на ΔSi

ΔЪi≈ ΔSi равенство тем точнее, чем < λ=> Пi≈(V(Mi),ni) ΔSi=> П= n=1Σ∞Пi= n=1Σ∞(V(Mi),ni) ΔSi=>П= n=1Σ∞(U(Mi),ni)* ΔSi.Равенство тем точнее,чем меньше λ-ранг разбиения.П=limλ→0 n=1Σ∞(U(Mi),n(Mi))* ΔSi. U(Mi),n(Mi) непрерыв на S=>сущ конеч limλ→0 n=1Σ∞(U(Mi),n(Mi))* ΔSi и поэтому П=SSs(U(x,y,z),n(x,y,z)ds.Такие интегралы от скалярного произвед (U,n) наз-ся поверх-ым интегралом 2 рода. SSs(P(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy.

] Ф(М)=Pi+Qj+Rk-непрерыв векторное поле.ScD,S-гладкая,двусторонная. SSs(Ф,n)ds-ПИ 2-ого рода от поля Ф.Теорема сущ: ] Ф(М)-непрерывна,S-гладкая=>сущ ПИ 2-ого рода.