Законы Ньютона для произвольного тела. Поступательное движение

 

Покажем, как понятие центра масс используется в законах Ньютона.

На каждую материальную точку, входящую в состав тела, действуют силы как со стороны других тел — внешние силы, так и со стороны остальных точек самого тела — внутренние силы. Например, для падающего тела внешними являются сила тяжести и сила сопротивления воздуха, а внутренними являются силы взаимодействия между молекулами. Обозначим F_i сумму всех сил, действующих на точку с номером i, и запишем второй закон Ньютона для всех точек:

F₁ = т_1·а₁

F₂ = т_2·а₂,

……………

F_п ⁼ т_n·а_n,

Сложив все равенства, получим:

F₁+F₂+... + F_n=m₁·a₁+m₂·a₂+... + m_n·a_n. (5.5)

Слева стоит сумма всех сил, действующих на все точки тела. Среди них есть как внешние, так и внутренние силы. В соответствие с третьим законом Ньютона сумма всех внутренних, сил равна нулю (силы, с которыми материальные точки действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению и при сложении дают ноль). Поэтому сумма всех сил в равенстве (5.5) равна сумме внешних сил:

F₁+F₂+... + F_n = F_вн

В правой части равенства (5.5) стоит числитель формулы (5.3). Поэтому

m₁·а₁ + т₂·а₂ +... + т_п · а_п = (m₁ + т₂ +... + т_п) ·а = т·а.

С учетом этого равенство (5.5) принимает следующий вид:

F=т·а.. (5.6)

Или

Соотношение (5.7) является вторым законом Ньютона для произвольного тела.

В инерциальной системе отсчета ускорение центра масс тела равно отношению суммы внешних сил к массе тела.

Первый и третий законы Ньютона для произвольного тела обобщаются следующим образом.

Существует система отсчета, относительно которой центр масс тела движется равномерно и прямолинейно или сохраняет состояние покоя, если на него не действуют другие тела. Такая система называется инерциальной.

Любые взаимодействующие тела действуют друг на друга с силой, одинаковой по величине и противоположной по направлению: F = —F

Отметим один вид движения тела, к которому законы движения материальной точки применимы без всяких изменений.

Пусть тело движется так, что любой его отрезок остается параллельным своему начальному положению (рис. 5.7). Такое движение называется поступательным.

Рис. 5.7. Поступательное движение

 

При таком движении траектории движения всех точек одинаковы. Поэтому одинаковы и все характеристики движения (скорость, ускорение и т. д.).