ГЛАВА VII. ПРОСТОТА

Вопрос о важности так называемой «проблемы про-

стоты», по-видимому, до сих пор остается дискуссион-

ным. Вейль совсем недавно утверждал, что «проблема

простоты имеет решающее значение для эпистемологии

естественных наук» [90, с. 155] (см. также разд. 42).

Однако в последнее время интерес к этой проблеме по-

шел на убыль, и причина этого, возможно, заключается

в том, что у нас, кажется, почти не осталось шансов

найти ее решение, в особенности после проницательного

анализа этой проблемы Вейлем.

До недавнего времени понятие простоты употребля-

лось по преимуществу некритически, как будто бы со-

вершенно ясно, что представляет собой простота и по-

чему это понятие должно быть для нас заслуживающим

внимания. Немало философов науки отвели понятию

простоты чрезвычайно важное место в своих теориях,

даже не заметив при этом порождаемых им трудностей.

К примеру, последователи Маха, Кирхгофа и Авенариу-

са попытались заменить понятие причинного объяснения

понятием «простейшее описание». Без прилагательного

«простейший» или другого сходного слова их учение

было бы совершенно пустым. Поскольку же это учение

было предназначено для того, чтобы объяснить, почему

мы предпочитаем описание мира с помощью теорий

описанию, осуществленному с помощью сингулярных

высказываний, в ней, судя по всему, предполагается,

что теории проще сингулярных высказываний. Однако

вряд ли кто-либо вообще пытался объяснить, почему

собственно теории проще сингулярных высказываний,

или выяснить, какой более точный смысл можно при-

дать понятию простоты.

12* 179

Если же мы считаем, что теориями необходимо поль-

зоваться в силу их простоты, то нам, очевидно, следует

использовать простейшие теории. Именно таким образом

Пуанкаре, для которого выбор теории является конвен-

циональным, приходит к формулировке своего принципа

выбора теорий — он выбирает простейшую из возмож-

ных конвенций. Но какие из них простейшие?

4L Устранение эстетического

и прагматического понятий простоты

Слово «простота» используется во многих различных

смыслах. Теория Шредингера, например, очень проста

в методологическом смысле, но в другом смысле ее

вполне можно назвать «сложной». Мы также можем

сказать, что решение некоторой проблемы представ-

ляется не простым, а трудным, или что некоторое изло-

жение или описание является не простым, а запу-

танным.

Для начала я исключу из нашего рассмотрения при-

менение термина «простота» к чему-то, подобному из-

ложению или описанию. О двух изложениях одного и

того же математического доказательства иногда гово-

рят, что одно из них проще или элегантнее другого. Од-

нако это различение представляет незначительный ин-

терес с точки зрения теории познания. Оно не относит-

ся к сфере логики, а только указывает на предпочте-

ние, имеющее эстетический или прагматический харак-

тер. Аналогичная ситуация имеет место и тогда, когда

говорят о возможности решить одну задачу «более про-

стыми средствами», чем другую, подразумевая, что это

можно сделать легче или что для этого потребуется

меньше умения или меньше знаний. Во всех этих слу-

чаях слово «простой» можно легко устранить: оно ис-

пользуется здесь во внелогическом смысле.

42. Методологическая проблема простоты

Что же остается после того, как мы устранили эсте-

тическое и прагматическое понятия простоты, и остает-

ся ли вообще что-либо? Существует ли понятие про-

стоты, представляющее интерес для логика? Возможно

ли различить теории, которые были бы логически неэк-

вивалентны по своим степеням простоты?

Положительный ответ на эти вопросы вполне может

показаться сомнительным, если вспомнить, сколь мало

успеха принесло до сих пор большинство попыток опре-

делить это понятие. Шлик, например, дает отрицатель-

ный ответ на эти вопросы. Он говорит: «Простота пред-

ставляет собой... понятие, указывающее на предпочте-

ния, которые по своему характеру являются, частично

практическими, частично эстетическими» [86, с. 148] *'.

Примечательно, что Шлик дает такой ответ как раз

тогда, когда пишет об интересующем нас сейчас поня-

тии, которое я буду называть эпистемологическим по-

нятием простоты. Далее он продолжает: «Даже если мы

не способны объяснить, что в действительности под-

разумевается нами под понятием «простота», нам все

же следует признать тот факт, что любой ученый, ко-

торому удалось представить серию наблюдений при

помощи очень простой формулы (например, при помо-

щи линейной, квадратичной или экспоненциальной

функции), сразу же убеждается в том, что он открыл

закон».

Шлик обсуждает возможность определения понятия

законосообразной регулярности, и в частности возмож-

ность различения «закона» и «случая», на основе поня-

тия простоты. В конечном счете он отвергает такую

возможность, отмечая при этом, что «простота, без со-

мнения, является полностью относительным и неопре-

деленным понятием и на его основе нельзя построить

ни строгого определения причинности, ни четкого раз-

личения закона и случая» (там же). Приведенные ци-

таты из работы Шлика ясно показывают, какова в дей-

ствительности та простота, которой мы желаем до-

стичь. Это понятие должно дать нам меру степени за-.

коносообразности или регулярности событий. Аналогич-

ная точка зрения выдвигается Фейглем, когда он гово-

рит об «идее определения степени регулярности или

законосообразности с помощью понятия простоты»-

[25, с. 25].

Эпистемологическое понятие простоты играет особую

роль в теориях индуктивной логики, например в связи

с проблемой «простейшей кривой». Сторонники индук-

тивной логики полагают, что мы приходим к законам

*' Я даю вольный перевод используемого Шликом термина «pragmatischer

».

природы путем обобщения отдельных наблюдений. Если

мы представляем различные результаты, полученные в

некоторой серии наблюдений, точками в некоторой си-

стеме координат, то графическое представление закона

будет иметь вид кривой, проходящей через все эти точ-

ки. Однако через конечное число точек мы всегда можем

провести неограниченное число кривых самой разнооб-

разной "формы. Таким образом, поскольку имеющиеся

наблюдения не позволяют единственным образом опре-

делить данный закон, индуктивная логика сталкивает-

ся, следовательно, с проблемой установления той кри-

вой, которую следует выбрать из всех этих возможных

кривых.

Обычный ответ на этот вопрос звучит так: «Выбирай

простейшую кривую». Витгенштейн, к примеру, говорит:

«Процесс индукции состоят в том, что мы принимаем

простейший закон, согласующийся с нашим опытом»

[95, утверждение 6.363]. При выборе простейшего за-

кона обычно неявно предполагается, что линейная

функция проще квадратичной, окружность проще эл-

липса и т. д. Однако при этом не приводится никаких

оснований, кроме эстетических и практических, ни для

предпочтения этой конкретной иерархии степеней про-

стоты любой другой возможной иерархии, ни для убеж-

дения в том, что «простые» законы имеют какие-то пре-

имущества по сравнению с менее простыми законами2.

Шлик [86] и Фейгль [25] ссылаются в этой связи на

неопубликованную работу Наткина, который, согласно

сообщению Шлика, предлагает считать одну кривую

проще другой, если усредненная кривизна первой кри-

вой меньше усредненной кривизны второй, или, соглас-

но описанию Фейгля, если она меньше, чем вторая

кривая, отклоняется от прямой (эти описания неэквива-

лентны). Это определение на первый взгляд до-

вольно хорошо согласуется с нашей интуицией, однако

в нем упускается из виду самое важное. Согласно тако-

му определению, к примеру, некоторые (асимптотиче-

ские) отрезки гиперболы значительно проще круга,

2 Замечание Витгенштейна о простоте логики [95, утверждение

5.4541], которая устанавливает «стандарт простоты», не дает ника-

кого ключа к решению нашей проблемы. Рейхенбаховский «принцип

простейшей кривой» [77, с. 616] основывается на его Аксиоме Индук-

ции (которая, по моему мнению, несостоятельна) и также приносит

мало пользы.

и т. п. Впрочем я не думаю, чтобы этот вопрос можно

было бы действительно разрешить при помощи таких

«хитроумных изобретений» (как называет их Шлик).

К тому же все равно остается загадкой, почему мы

должны отдавать предпочтение простоте, которая опре-

делена столь специфическим способом.

Вейль рассматривает и отвергает очень интересную

попытку обоснования понятия простоты с помощью по-

нятия вероятности: «Предположим, например, что два-

дцать пар значений (к, у) одной функции y = f(x) при

нанесении на миллиметровую бумагу располагаются

(в пределах ожидаемой точности) на прямой линии.

В таком случае напрашивается предположение о том,

что здесь мы имеем дело с точным законом природы

и что у линейно зависит от х. Это предположение об-

условлено простотой прямой линии или, иначе говоря,

тем, что расположение двадцати пар произвольно взя-

тых наблюдений очень близко к прямой линии было бы

крайне невероятным, если бы рассматриваемый закон

был бы иным. Если же теперь использовать полученную

прямую как основание для интерполяции и экстраполя-

ции, то мы получим предсказания, выходящие за пре-

делы того, что говорят нам наблюдения. Однако такой

ход мысли может быть подвергнут критике. Действи-

тельно, всегда имеется возможность определить все ви-

ды математических функций, которые... будут удовлет-

ворять двадцати нашим наблюдениям, причем некото-

рые из этих функций будут значительно отклоняться от

прямой. И относительно каждой такой функции мы мо-

жем считать, что было бы крайне невероятно, чтобы

наши двадцать наблюдений лежали именно на этой -

кривой, если бы она не представляла собой истинный

закон. В этой связи действительно важным является

то, что данная функция или скорее данный класс функ-

ций предлагается нам математикой a priori именно в

силу их математической простоты. Следует отметить,

что параметры, от которых этот класс функций должен

зависеть, не должны быть столь же многочисленны,

как и наблюдения, которым эти функции должны удов-

летворять» [90, с. 156] *3. Замечание Вейля о том, что

*3 Когда я писал свою книгу, я не знал (и Вейль, без сомнения,

не знал, когда писал свою), что" Джеффрис и Ринч за шесть лет до

Вейля предложили измерять простоту некоторой функции при помо-

щи малочисленности ее свободно заменимых параметров (см. их

-«данный класс функций предлагается нам математикой

a priori именно в силу их математической простоты» и

его упоминание числа параметров согласуются с моей

точкой зрения (как она будет изложена в разд. 43).

'Однако Вейль не разъясняет, что же представляет со-

бой «математическая простота», а главное, он ничего

не говорит о тех логических или эпистемологических

преимуществах, которыми, как предполагается, обла-

дает более простой закон по сравнению с более слож-

ным4.

Приведенные цитаты из работ разных авторов очень

важны для нас, поскольку они имеют непосредственное

отношение к нашей цели, то есть к анализу эпистемо-

логического понятия простоты. Дело в том, что это

понятие до сих пор не определено с достаточной точ-

ностью. Следовательно, всегда имеется возможность

отвергнуть любую (к примеру, мою) попытку придать

этому понятию точность на том основании, что интере-

-сующее эпистемологов понятие простоты в действитель-

ности совершенно отлично от того понятия, которое

предлагается. На такие возражения я мог бы ответить,

что я не придаю какого-либо значения самому слову

«простота». Этот термин был введен не мною, и я хо-

рошо сознаю его недостатки. Я только утверждаю, что

понятие простоты, которое я стремлюсь уточнить, по-

могает ответить на ге самые вопросы, которые, как

показывают приведенные цитаты, часто ставились фи-

лософами науки в связи с «проблемой простоты».

43. Простота и степень фальсифицируемости

Все возникающие в связи с понятием простоты эпи-

стемологические вопросы могут быть разрешены, если

мы отождествим это понятие с понятием степени фаль-

сифицируемости. Вероятно, это утверждение вызовет

совместную статью [38]). Я хочу воспользоваться предоставившейся

возможностью, чтобы выразить признательность этим авторам за их

работу.

4 Последующие замечания Вейля о связи между простотой и под-

креплением также имеют отношение к рассматриваемой нами проб-

леме. Эти замечания в основном согласуются с моими взглядами, из-

ложенными в разд. 82, хотя и сам мой подход, и мои аргументы в его

пользу значительно отличаются от подхода Вейля (см. прим. 18 к

гл. X и прим. *6 к этой главе).

резкие возражения*5; поэтому я сначала попытаюсь сде-

лать его интуитивно более приемлемым.

Ранее было показано, что теории меньшей размер-

ности легче поддаются фальсификации, чем теории

большей размерности. Например, некоторый закон,

*5 Я с удовлетворением обнаружил, что предложенная мною тео-

рия простоты (включая и положения, изложенные в разд. 40) была

признана но крайней мере одним эпистемологом — Нилом, который

в своей книге пишет: «Легко заметить, что простейшая в этом смысле

гипотеза является также гипотезой, которую в случае ее ложности

мы можем надеяться быстрее всего устранить....Короче говоря, имен-

но стратегия принятия простейшей гипотезы, согласующейся с изве-

стными фактами, дает нам возможность как можно быстрее избав-

ляться от ложных гипотез» [45, с. 229]. В этом месте Нил делает

примечание, в котором ссылается на с. 116 книги Вейля [90], a также

на мою книгу [58]. Однако ни на указанной странице книги Вейля.

которую я цитировал в предыдущем разделе, ни в каком-либо другом

месте этой замечательной книги (а также ни в какой другой его кни-

ге) я не сумел обнаружить никакого следа воззрения, согласно кото-

рому простота теории связана с ее фальсифицируемостью, то есть с

легкостью ее устранения. И конечно, я не написал бы (как это сдела-

но в конце предыдущего раздела), что Вейль «ничего не говорит о-

тех логических или эпистемологических преимуществах, которыми,,

как предполагается, обладает более простой закон», если бы Вейль

(или другой известный мне автор) предвосхитил мою теорию.

Таковы факты. В своем очень интересном рассуждении по пово-

ду данной проблемы (процитированном мною в разд. 42 в тексте пе-

ред прим. *4) Вейль сначала упоминает интуитивное воззрение, со-

гласно которому простая кривая, скажем прямая линия, имеет неко-

торые преимущества по сравнению с более сложной кривой,

поскольку совпадение всех наблюдений с такой простой кривой мож-

но рассматривать как в высшей степени невероятное событие. Однако

вместо того, чтобы довести до конца это интуитивное понимание (ко-

торое, я думаю, помогло бы Веилю заметить, что более простая тео-

рия является в то же время лучше проверяемой теорией). Вейль от-

вергает его как не выдерживающее рациональной критики. Он указы-

вает, что то же самое можно было бы сказать и о любой другой дан-

ной кривой, сколь бы сложной она ни была. (Этот аргумент является

правильным, однако он не применим к нашему случаю, поскольку мы

рассматриваем не верифицирующие примеры, а потенциальные фаль-

сификаторы и их степени неэлементарности.) Затем Вейль переходит

к обсуждению понятия малочисленности параметров в качестве кри-

терия простоты, не связывая это понятие тем или иным образом ни

с только что отброшенным интуитивным воззрением на простоту, ни

с каким-либо другим понятием (типа проверяемости или содержания),

которое помогло бы объяснить наше эпистемологическое предпочте-

ние более простых теорий.

Предпринятая Вейлем попытка охарактеризовать простоту неко-

торой кривой при помощи малочисленности ее параметров, как мы

отметили, была предвосхищена в 1921 году Джеффрисом и Ринчем [38].

Однако если Вейль просто не смог заметить то, что теперь (согласно

Нилу) «легко заметить», то Джеффрис действительно придерживался

имеющий форму функции первой степени, легче под-

дается фальсификации, чем закон, выражаемый посред-

ством функции второй степени. Однако в ряду законов,

математической формой которых являются алгебраиче-

ские функции, второй закон все же принадлежит к

классу хорошо фальсифицируемых законов. Это согла-

суется с тем, что говорит о простоте Шлик. «Мы, —

пишет он, — определенно расположены рассматривать

функцию первой степени как более простую по сравне-

нию с функцией второй степени, хотя последняя так-

же, без сомнения, представляет собой очень хороший

закон» [86, с. 148] (см. прим. *1).

Как мы уже видели, степень универсальности и

точности некоторой теории возрастает вместе со сте-

пенью ее фальсифицируемости. Таким образом, мы, по-

видимому, можем отождествить степень строгости тео-

рии, то есть степень, так сказать, жесткости тех огра-

ничений, которые теория при помощи закона налагает

на природу, с ее степенью фальсифицируемости. Отсю-

да следует, что понятие степени фальсифицируемости

выполняет те самые функции, которые, по мнению

Шлика и Фейгля, должно выполнять понятие простоты.

Я могу добавить, что различение, которое Шлик хотел

провести между законом и случаем, также может быть

уточнено с помощью идеи степеней фальсифицируе-

мости. Оказывается, что вероятностные высказывания о

последовательностях со случайными характеристиками,

во-первых, имеют бесконечную размерность (см. [70,

разд. 65]), во-вторых, являются сложными, а не про-

стыми (см. [70, разд. 58 и конец разд. 59]) и, в-третьих,

фальсифицируемы только при принятии специальных

мер предосторожности (см. [70, разд. 68]).

Сравнение степеней проверяемости подробно обсуж-

далось ранее, в разд. 31—40. Приводимые там примеры

и отдельные соображения можно легко перенести на

и до сих пор придерживается воззрения, совершенно противоположного

моей теории простоты: он приписывает более простому закону боль-

шую априорную вероятность, а не большую априорную невероятность,

как это делаю я. (Таким образом, сопоставление взглядов Джеффри-

са и Нила может служить иллюстрацией к замечанию Шопенгауэра

о том, что решение проблемы часто сначала выглядит как парадокс,

а потом как трюизм.) Я хотел бы добавить здесь, что в последнее

время я значительно продвинулся в разработке моих взглядов на по-

нятие простоты, при этом я старался усвоить, и, надеюсь, небезуспеш-

но, кое-что из книги Нила.

проблему простоты. Это верно, в частности, для поня-

тия степени универсальности некоторой теории. Мы

знаем, что более универсальное высказывание может

заменить много менее универсальных высказываний и

по этой причине его можно назвать «более простым»..

Можно также сказать, что понятие размерности теории

придает точность идее Вейля об использовании числа

параметров для определения понятия простоты*6. Не-

сомненно также, что наше различение материальной и

формальной редукций размерности теории (см. разд.

40) может подсказать ответ на некоторые возможные

возражения против теории Вейля, например на возра-

жение, согласно которому множество эллипсов, для

которых даны соотношения их осей и численный экс-

центриситет, имеет в точности столько же параметров,

как и множество окружностей, хотя второе множество,

очевидно, является более «простым».

Самое же важное состоит в том, что наша теория

объясняет, почему простота ценится столь высоко. Что-

бы понять это, нам не нужно принимать ни «принцип

экономии мышления», ни какой-либо другой принцип

*6 Как упоминалось в прим. *3 и *5, именно Джсффрис и Ринч

впервые предложили измерять простоту некоторой функции малочис-

ленностью ее свободно заменимых параметров. Однако они вместе

с тем предлагали приписывать более простой гипотезе большую

априорную вероятность. Таким образом, их взгляды могут быть вы-

ражены следующей схемой:

простота=малочисленность параметров —высокая

априорная вероятность.

Получилось так, что я исследовал эту проблему совсем с другой

стороны. Меня интересовала оценка степеней проверяемости, и я вна-

чале обнаружил, что проверяемость можно измерить при помощи «ло-

гической невероятности» (которая в точности соответствует исполь-

зуемому Джеффрисом понятию «априорной» невероятности). Затем

я обнаружил, что проверяемость и, следовательно, априорная неве-

роятность могут быть отождествлены с малочисленностью парамет-

ров, и только в конечном итоге я отождествил высокую степень про-

веряемости с высокой степенью простоты. Таким образом, мои взгля-

ды могут быть выражены такой схемой:

проверяемость = высокая априорная

невероятность = малочисленность параметров = простота.

Заметим, что две эти схемы частично совпадают. Однако в ре-

шающем пункте, когда речь заходит о вероятности и невероятности,

они находятся в прямом противоречии друг с другом (см. также [70,

прил. *VIII]).

такого же рода. Когда нашей целью является знание,

простые высказывания следует ценить выше менее

простых, потому что они сообщают нам больше, потому

-что больше их эмпирическое содержание и потому что

'Они лучше проверяемы.

44. Геометрический образ и функциональная форма

Наша концепция простоты помогает нам разрешить

•ряд противоречий, которые до сих пор ставили под со-

мнение полезность применения понятия простоты.

Немногие, я думаю, считают геометрический образ,

•скажем, логарифмической кривой очень простым. Од-

нако закон, который может быть представлен с помощью

логарифмической функции, обычно считается простым.

Аналогичным образом функция синуса, по общему мне-

нию, является простой, хотя геометрический образ си-

нусоиды, возможно, не является столь простым.

Трудности такого рода можно устранить, если мы

вспомним о связи между числом параметров и сте-

пенью фальсифицируемости и проведем различение

между формальной и материальной редукциями раз-

мерности. (Здесь могут помочь и соображения о роли

инвариантности по отношению к преобразованиям си-

стем координат.) Когда речь идет о геометрической

-.форме или об образе некоторой кривой, мы требуем от

нее инвариантности по отношению ко всем преобразо-

ваниям, принадлежащим к группе переносов. Мы мо-

жем также потребовать при этом инвариантности по

отношению к преобразованиям подобия, так как обыч-

но предполагается, что геометрическая форма или гео-

метрический образ не связаны с определенным местом

на плоскости. Следовательно, если мы рассматриваем

форму однопараметрической логарифмической кривой

(y = logax), не связывая ее с определенным местом на

плоскости, то такая кривая будет зависеть от пяти па-

раметров (если допустить преобразования подобия).

Таким образом, она ни в коем случае не является весь-

ма простой кривой. Если же некоторая логарифмическая

кривая представляет теорию или закон, то указанные

преобразования координат не имеют значения. В таких

случаях использование вращений, параллельных пере-

носов и преобразований подобия не имеет смысла, так

жак логарифмическая кривая здесь, как правило, яв-

ляется графическим представлением, в котором оси ко-

ординат не взаимозаменяемы (к примеру, ось ч может

представлять атмосферное давление, а ось у — высоту

над уровнем моря). По этой же причине преобразова-

ния подобия также не играют здесь никакой роли. Ана-

логичные соображения применимы и к колебаниям си-

нусоиды вокруг некоторой конкретной оси, к примеру

вокруг оси времени, и ко многим другим случаям.

45. Простота евклидовой геометрии

Одним из вопросов, занимавших важное место в

большинстве дискуссий о теории относительности, был

вопрос о простоте евклидовой геометрии. При этом

никто даже не пытался усомниться в том, что евклидо-

ва геометрия как таковая проще, чем любая неевкли- ·

дова геометрия с данной постоянной кривизной, не го-

.воря уже о неевклидовых геометриях с переменной кри-

визной.

На первый взгляд кажется, что используемое при

таком сравнении понятие простоты не имеет почти ни-

чего общего со степенями фальсифицируемое™. Одна-

ко если высказывания о простоте различных геометрий

сформулировать в виде эмпирических гипотез, то обна-

ружится, что два интересующих нас понятия — простота

и фальсифицируемость — совпадают и в этом случае.

Рассмотрим, какие эксперименты могут оказать нам

помощь в проверке следующей гипотезы: «В нашем ми-

ре необходимо использовать некоторую метрическую

геометрию с таким-то и таким-то радиусом кривизны».

Эта гипотеза допускает проверку только в том случае,

если мы отождествим некоторые геометрические сущ-

ности с определенными физическими объектами, на-

пример прямые линии ·— со световыми лучами, точки —

с пересечением нитей и т. п. Если принять такое отож-

дествление (то есть соотносящее определение или, воз-

можно, некоторое остенсивное определение — см. разд.

17), то можно показать, что гипотеза о справедливости

евклидовой геометрии световых лучей фальсифицируе-

ма в большей степени, чем любая другая конкурирую-

щая гипотеза, утверждающая справедливость некоторой

неевклидовой геометрии. Дело в том, что если мы из-

мерим сумму углов светового треугольника, то любое

значительное отклонение от 180 градусов фальсифици-

рует евклидову гипотезу. В то же время гипотеза о

справедливости геометрии Больяи — Лобачевского с

данной кривизной будет совместима с любым конкрет-

ным измерением, результат которого не превосходит

180 градусов. К тому же для фальсификации второй

гипотезы необходимо измерить не только сумму углов,

но также и (абсолютный) размер треугольника, а это

означает, что в придачу к углам потребовалось бы

ввести новую единицу измерения, такую, например, как

единицу площади. Таким образом, мы видим, что для

фальсификации второй гипотезы требуется большее

число измерений, что данная гипотеза совместима с

большими отклонениями в результатах измерений и

что, следовательно, эту гипотезу труднее фальсифици-

ровать. Иначе говоря, вторая гипотеза фальсифицируе-

ма в меньшей степени. То же самое можно выразить,

сказав, что евклидова геометрия является единственной

метрической геометрией с определенной кривизной, в

которой возможны преобразования подобия. Как след-

ствие этого, фигуры евклидовой геометрии могут быть

инвариантными по отношению к большему числу пре-

образований, то есть они могут иметь меньшую размер-

ность и поэтому быть проще.

46. Конвенционализм и понятие простоты

То, что конвенционалист называет «простотой», не

совпадает с моим понятием простоты. Никакая теория

однозначно не детерминируется опытом — вот централь-

ная идея и исходный пункт конвенционалиста, и я раз-

деляю эту точку зрения. Исходя из этого, конвенциона-

лист убежден в том, что он должен выбрать «простей-

шую теорию». Однако поскольку теории для

конвенционалиста не являются фальсифицируемыми

системами, а представляют собой конвенциональные

соглашения, то под «простотой» им, безусловно, под-

разумевается нечто отличное от степени фальсифицн-

руемости.

Конвенционалистское понятие простоты в действи-

тельности оказывается частично эстетическим, частично

практическим. Поэтому, когда Шлик говорит о том, «что

понятие простоты, очевидно, можно определить только

при помощи конвенции, которая всегда оказывается

произвольной» [86, с. 148], то это его замечание (см.

также разд. 42) полностью применимо к конвенционали-

стскому понятию простоты, но не затрагивает моего по-

нятия простоты. Странно, что сами конвенционалисты

не заметили конвенционального характера самого фун-

даментального для них понятия — понятия простоты.

Да они и не могли заметить его, так как в противном

случае им пришлось бы признать то, что никакая апел-

ляция к простоте не может спасти от произвольности

того, кто однажды вступил на путь принятая произ-

вольных конвенций.

С моей точки зрения, некоторую систему следует

считать в высшей степени сложной, если в соответствии

с практикой конвенционалистов, мы, безусловно, при-

нимаем ее в качестве раз и навсегда установленной

системы, которую, как только она оказывается в опас-

ности, следует спасать при помощи введения дополни-

тельных гипотез. Дело в том, что степень фальсифици-

руемости охраняемой таким образом системы равна

нулю. Итак, наше понятие простоты вновь привело нас

к методологическим правилам, сформулированным в

разд. 20, и в частности к правилу или принципу, кото-

рый удерживает нас от снисходительного отношения к

введению гипотез ad hoc и дополнительных гипотез, то

есть к принципу экономии используемых нами гипотез.

Добавление 1972 года

В этой главе я попытался показать, насколько да-

леко можно провести отождествление простоты со сте-

пенями проверяемости. При этом менее всего принима-

лось во внимание само слово «простота» — я никогда

не спорил о словах и не ставил своей целью раскрыть

сущность простоты. На самом деле я попытался сде-

лать только следующее.

Многие великие ученые и философы высказывались

•о простоте и ее ценности для науки. Я полагаю, что не-

которые из этих утверждений станут более понят-

ными, если предположить, что, говоря о простоте, они

иногда имели в виду проверяемость. Это проливает

свет даже на некоторые примеры Пуанкаре, хотя и рас-

ходится с его взглядами.

Затем я хотел бы подчеркнуть два следующих поло-

жения. (1) Мы можем сравнивать теории по их прове-

ряемости только в том случае, если по крайней мере

некоторые из проблем, которые, как предполагается, они

предназначены решать, совпадают. (2) Гипотезы ad

hoc нельзя сравнивать таким образом.