Продольная образующая древесного ствола

Если древесный ствол разрезать по сердцевине вертикальной плоскостью, то в сечении получится фигура, ограниченная кривой, которая расположена симметрично по отношению к вертикальной оси. При таком положении можно древесный ствол рассматривать как тело вращения, ограничиваемое некоторой кривой. Зная уравнения этой кривой, можно определить объем ствола (рисунок 5.4).

 

Рисунок 5.4 Кривые, используемые для описания образующей древесного ствола

 

Многочисленные исследования кривых, описывающих форму ствола, показали, что они неправильны и непостоянны. Уравнения, точно определяющего характер этих кривых, до сих пор не найдено.

Определить объем ствола аналитически можно было бы в том случае, если бы для каждого ствола было известно уравнение его поверхности: F (x, y, z) = 0, т.е. вид функции F. Зная уравнения поверхности ствола, можно было бы вычисление его объема свести к интегрированию некоторой заданной функции.

Отсутствие общего уравнения поверхности ствола заставляет ограничиваться методом приближенном вычислений. Степень точности получающихся при этом результатов может быть очень высокой. Она зависит от погрешностей измерений, используемых в качестве основы при вычислении объемов.

Для упрощения исходят из предположения, что ствол есть тело вращения. В этом случае всякое сечение ствола плоскостью, перпендикулярной его продольной оси, есть круг. Однако изучение поперечного сечения ствола показало, что оно не является кругом. Поэтому, рассматривая древесный ствол как тело вращения, допускают определенную условность.

Ошибки в определении объема ствола, принятого за тело вращения, при таксации не превышают допустимых погрешностей. Если ствол считать телом вращения, задачу по определению его объема можно значительно упростить. В этом случае вопрос будет решаться не при помощи геометрии в пространстве, а посредством геометрии на плоскости и вместо изучения поверхности ствола будет изучаться его образующая.

Многочисленные исследования показали, что образующая древесного ствола слишком сложная кривая и на всем протяжении не может быть представлена одним аналитическим уравнением элементарной функции.. Правильнее ее рассматривать как сочетание разных кривых. Поэтому и древесный ствол ближе к телу, состоящему из различных тел вращения.

В нижней части ствола образующая обычно имеет вогнутую форму, на большей части протяжения ствола она выпуклая и лишь на сравнительно коротких участках приближается к прямой.

Отрезки образующей ствола со значительной степенью точности характеризуются уравнением:

y^a=cx^b, (5.7)

где y – радиус поперечного сечения ствола;

c – постоянный коэффициент;

x – расстояние этого сечения от вершины кривой.

Это уравнение характеризует обширный класс кривых, в аналитической геометрии называемых параболами. В числе этих парабол наиболее распространенная парабола второго порядка является частным случаем, когда показатель степени b равен 1, а показатель степени a равен 2:

y²=cx. (5.8)

Все такие кривые такого рода проходят через начало координат, в котором находится вершина кривой.

По соотношению показателей степеней левой и правой частей уравнения можно судить о характере кривой. Если a > b, кривая оказывается выпуклой, если а < b – вогнутой. Изменяя значение показателей степени а и b, можно построить такую кривую, которая будет очень мало отклонятся от кривой, построенной на основании фактических обмеров ствола. При вращении кривых вида y^a=cx^b вокруг оси абсцисс получаем параболоиды вращения различных порядков. Кривые, являющиеся образующими параболоидов, характеризуются уравнением:

у ²=Ах^m, (5.9)

где А – параметр, определяющий размер кривой;

m – показатель степени, характеризующей форму кривой.

Способы определения объема ствола основываются на принятии вида образующей ствола, характеризующейся уравнением 5.9.

У отдельных древесных пород в разных условиях роста и в разных частях ствола показатель степени m изменяется от 0 до 3. В зависимости от значения m уравнение принимает следующий вид:

при m =0 y ²= A (5.10)

при m =1 y ²= Ax (5.11)

при m =2 y ²= Ax ² (5.12)

при m =3 y ²= Ax ³ (5.13)

В первом случае формула (5.10) – это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс. При вращении ее вокруг оси абсцисс образуется цилиндр. Во втором случае – формула (5.11) – это уравнение параболы второго порядка. В третьем случае – формула (5.12) – две пересекающиеся прямые при вращении образуют обыкновенный прямобокий конус. И, наконец, в последнем случае – формула (5.13) – это уравнение носит название уравнения параболы Нейля, а при вращении кривой такого рода получается нейлоид.

Отдельные части ствола приближаются к этим четырем геометрическим формам: нижняя – к нейлоиду, срединная (отдельные короткие отрезки) – к цилиндру, вершинная – к конусу, а большая часть – к параболоиду второго порядка.

Д.И. Менделеев для определения объемов применил уравнение кубической параболы, характеризующее образующую древесного ствола. Исследования, проведенные лесоводом И. Белановским, подтвердили, что уравнения параболы могут быть использованы для изучения формы древесных стволов. Уравнение кубической параболы имеет следующий вид:

y=a+bx+cx²+dx³

где y – полудиаметры ствола на различной высоте;

x – расстояние от шейки корня до места измерения диаметров;

a,b,c,d – некоторые постоянные коэффициенты.

Если на древесном стволе измерить ряд полудиаметров y, отстоящих на разных расстояниях от шейки корня, и эти полудиаметры выразить в относительных числах по сравнению с полудиаметром на шейке корня, то в конечном счете, решая систему уравнений, можем найти неизвестные величины (a,b,c,d), т.е. некоторые постоянные для древесного ствола коэффициенты. Подставив их в вышеприведенную формулу, получим конкретное уравнение, характеризующее кривую данного древесного ствола. По этому уравнению можно определить диаметры ствола в промежуточных сечениях, непосредственно не обмерявшихся.

Допустим, что у ствола диаметр на 1/4 высоты (или на 1/4 х) оказался равным 0,69, на 1/2 высоты (или на 1/2 х) 0,55 и на 3/4 высоты (или на 3/4 х) 0,35 диаметра нижнего сечения ствола. Приняв х, или полную высоту ствола, за единицу, а диаметр в вершине ствола равным нулю, можем написать следующие четыре уравнения:

;

;

;

0 = a+b1+c1+d1 = a+b+c+d.

Решив систему уравнения с четырьмя неизвестными, находим коэффициенты: a = 0,8; b = – 0,5; c = 0,3 и d = – 0,6. Величины этих коэффициентов подставим в уравнение:

y=a+bx+cx²+dx³ = 0,8 – 0,5 x+ 0,3 x² – 0,6 x³.

Решение подобных задач показывает, что такие уравнения довольно хорошо характеризуют кривую, являющуюся образующей ствола на протяжении от 1/8 и примерно до 3/4 его длины, считая от комля. Нижняя, комлевая часть вследствие корневых наплывов имеет иной вид. Вершинная часть ствола по форме весьма изменчива, и ее образующая плохо характеризуется приведенным общим уравнением.

При исследовании несущих органов однолетних и многолетних растений ботаник С. Швенденер обнаружил, что форма их стеблей очень близка к форме бруса равного сопротивления. Такая форма стеблей позволяет растениям достигать наибольшей прочности при наименьшей затрате органического вещества.

К. Метцгер развил эту теорию дальше. Он исследовал стволы ели и вывел две формулы для определения их размеров. При этом К. Метцгер исключал из всех расчетов ветровую силу и переходил к определению относительных размеров ствола, используя какой-нибудь исходный диаметр. В качестве исходного значения он взял диаметр у начала кроны (рисунок 5.5).

На основе того, что у бруса равного сопротивления кубы диаметров любых сечений ствола равны расстоянию от этих диаметров до центра тяжести кроны, диаметры ствола до начала кроны К. Метцгер определял по следующей формуле:

, (5.14)

где d_x – любой диаметр ствола до начала кроны;

δ; – диаметр у начала кроны;

k – длина кроны;

s – расстояние от d_x до начала кроны.

 

Рисунок 5.5 – Схема, иллюстрирующая изменение толщины ствола как бруса равного сопротивления

 

К. Метцгер считает изменение ветрового давления, действующего на крону, прямо пропорциональным изменению квадрата ее базиса и высоты, если она имеет форму треугольника. На основании этого получим:

, (5.15)

где d_x – любой диаметр внутри кроны;

k – длина кроны;

k₁ – расстояние от вершины кроны до d_k.

По мнению русского таксатора-практика П.Д. Козицына, диаметры стволов у безядровых древесных пород, взятые на различном расстоянии от точки приложения силы, опрокидывающей ствол, находятся в следующем соотношении (рисунок 5.5):

: : =1₁:1₂:1₃. (5.16)

В этой пропорции:

, , – диаметры ствола в соответствующих сечениях;

1₁, 1₂, 1₃ – расстояния от точки приложения силы до указанных диаметров.

Стволы ядровых древесных пород, по мнению П.Д. Козицына, построены по законам полного бруса равного сопротивления. Диаметры ядровых пород и соответствующие им расстояния от точки приложения силы находятся в следующем соотношении:

: : =1₁:1₂:1₃. (5.17)

Сопоставление данных, полученных при измерении диаметров и вычислении их по приведенным формулам, показывает, что хотя полностью они и не совпадают, но близки между собой.

В. Гогенадль считает, что при формообразовании ствола решающее значение имеет собственный вес дерева. В. Гогенадль рассматривает собственный вес дерева как сжимающую силу. Для определения размеров той части ствола, которая расположена ниже начала кроны, В. Гогенадль дает довольно сложную формулу, учитывающую объемный вес древесины, ее прочность на сжатие и диаметр у начала кроны.

Л. Тирен, исследовавший этот вопрос с математической стороны, пришел к выводу, что теория В. Гогенадля не выдерживает критики. Нельзя признать верным, что форма ствола зависит, прежде всего, от воздействия незначительных сил собственного веса дерева и что намного больше силы (изгиб) не оказывают на нее никакого влияния.

Виндгиш отмечает, что теория В. Гогенадля противоречит процессу роста дерева. По его формуле должны расширяться годичные слои в нижней части ствола. На самом деле наблюдается обратное явление. Наиболее широкие годичные кольца находятся в подкронной части ствола.

А. Илинен считает, что на форму ствола влияют одновременно несколько сил: собственный вес дерева как сжимающая и изгибающая сила и изгибающие моменты, вызванные действием ветра на крону и на ствол. На основе детальных исследований кроны ствола (изучение ее сопротивляемости, изменения ветровой скорости в разных местах кроны) этот учёный строит «редуцированную ветровую площадь» кроны, имеющую форму трапеции. Он приходит к выводу, что укорочение и растяжение крайних древесных волокон по всей длине ствола постоянно, а это означает, что форма ствола зависит от модуля упругости. В разных местах ствола модуль упругости различен.

На основании этого А. Илинен приравнивает форму ствола к форме бруса равного сопротивления. Для комлевых наплывов он выдвигает гипотезу о нелинейном распределении напряжения по поперечному сечению, которое ведет к расширению нижней части ствола. Решение проблемы комлевых наплывов с точки зрения теоретической механики очень трудно. Поэтому А. Илинен находит весьма сложное, но хорошо отображающее форму комлевых наплывов, эмпирическое уравнение. Теоретическое объяснение А. Илиненом зависимости формы ствола от протяженности кроны, безусловно, заслуживает внимания.

В 1913 г. П. Жаккард выдвинул свою транспирационную теорию. В ней он рассматривает дерево как тело равной водопроводимости. Между транспирационной поверхностью кроны и водопроводящей площадью поперечного сечения ствола существует, по П. Жаккарду, такая зависимость:

, (5.18)

где TF – транспирационная поверхность кроны;

LF – водопроводящая площадь поперечного сечения ствола.

П. Жаккард считал, что различная интенсивность транспирации кроны, которая зависит не только от величины поверхности кроны, но и от температуры, движения воздуха и т.д., регулируется скоростью водоподачи в верхние части ствола. Поэтому он полагал, что и уравнение (5.18) остается верным при различной интенсивности транспирации.

Однако правильность этого еще не доказана. Кроме того, до сих пор точно не установлено, сколько годичных слоев и какая площадь внутри одного слоя принимают участие в водоподаче. Некоторые исследователи (например, Рубнер) отрицают постоянство водопроводящих площадей.

В Швеции образующую древесных стволов, противостоящих разрушительным действиям ветра, собственного веса и веса кроны, рассматривают как логарифмическую кривую. Шведский учёный Гойер при характеристике сбега древесных стволов и определении диаметров сортиментов образующую древесных стволов приравнивает к логарифмической кривой и характеризует следующим уравнением:

d: D = C lg [(c +L): c ], (5.19)

где d – диаметр ствола на расстоянии L от вершины (L определяют в процентах от высоты ствола, уменьшенной на 1,3 м);

D – диаметр ствола у основания, но чаще всего он берется на высоте груди;

С и с – некоторые постоянные коэффициенты.

Для стволов осины это уравнение имеет следующие параметры:

.

Диаметры, исчисленные по этому уравнению, в средней части ствола наиболее близки к действительным.

Рассматривая формирование древесных стволов, происходящее под влиянием ветра и силы тяжести, и учитывая при этом законы механики, можно, хотя и с некоторым приближением, установить диаметры ствола в разных сечениях. Полного же совпадения теоретически найденных диаметров с фактическими не наблюдается, так как древесный ствол, являющийся составной частью живого организма, формируется не только под влиянием механических сил, но и под воздействием физиологических процессов.

Поэтому действительная форма стволов оказывается сложнее, чем брусьев равного сопротивления, изготовляемых по законам механики. Математические модели продольной формы ствола позволяют более адекватно описать образующую ствола, а с её помощью вычислить его объём.

Из всего вышеизложенного вытекают, что, если вывести уравнение образующей древесного ствола то, вращая ее вокруг центральной оси, несложно вычислить объем образованного тела вращения. Это соображение стало отправной точкой многих исследований по установлению уравнения продольной образующей древесного ствола, которую при дальнейшем изложении будем называть просто образующей.

Наиболее интенсивно эти работы проводились в последние 40 лет. В этот период универсальную образующую древесного ствола пытались вывести многие ученые: К.Е. Никитин, А.Г. Мошкалев, И.И. Гусев, Н.Г. Воинов, А.Н. Петровский, В.П. Машковский, И.В. Толкач и другие. Эти работы стали весьма актуальны в связи с потребностями лесопильного производства, где требовалось автоматизировать и оптимизировать раскряжевку стволов.

Наиболее простым решением представляется здесь использование уравнений полиномов высоких степеней. Действительно, повышая степень полинома до п -1, где п – число замеров, мы можем провести линию практически по всем точкам замеров. На практике оказывается достаточным и даже предпочтительным увеличением степени полинома до 6 – 8. В этом случае отклонения выровненных значений диаметра в точках замера практически отсутствуют, не превышая в редких случаях 1 – 3 мм. Учитывая условия проведения измерений, точность измерительных приборов и ошибки исполнителя, такую точность вычисления диаметров в точках замеров можно считать достаточной.

Но уравнения образующей, выраженные полиномами высоких степеней, имеют существенный недостаток. Хорошо отражая характеристики конкретного ствола, они не могут быть использованы в качестве общей модели из-за значительного варьирования формы стволов. Поэтому высокие степени полиномов для описания образующих применяют, когда надо получить данные лишь о конкретном стволе.

Этот метод взят на вооружение В.Ф. Багинским при нахождении промежуточных (лежащих между проведенными замерами) диаметров на конкретных модельных деревьях для вычисления диаметров сортиментов в их верхнем отрезе, который обычно не совпадал с точками замера, выполняемыми через 1 или 2м. При этом уравнение образующей вычислялось для каждого измеряемого ствола.

Для получения образующей ствола, которая может отражать общие закономерности, исследователи снижали степень полиномов, до 4 – 5: Н.Т. Воинов, А.Н. Петровский, И.И. Гусев. Но в этом случае величина ошибок, причем не всегда случайных, возрастала.

Названное обстоятельство вызвало к жизни исследования более сложных формул, описывающих образующую. Значительных успехов здесь достигли ученые кафедры лесоустройства и лесной таксации Белорусского государственного технологического университета: В.П. Машковский, И.В. Толкач, С.С. Цай и др. Предложенные ими формулы «работают» лучше вышеописанных, хотя тоже не лишены недостатков.

Плодотворным оказалось другое направление при описании образующей, которое почти 50 лет назад предложил К.Е. Никитин. Он применил для названных целей сплайн – функцию. Известно, что самая нижняя часть ствола, где имеются корневые наплывы, близка к нейлоиду. Затем на протяжении 4 – 6 м ствол уподобляется цилиндру. В своей средней части он близок к параболоиду. При этом этот отрезок можно разделить на 2 участка, где параболоиды будут иметь разную степень. Вершина дерева близка к конусу. Руководствуясь описанным подходом, К.Е. Никитин определял объемы стволов для составления украинских сортиментных таблиц, вышедших в 1985 году. При таком подходе высокая точность наблюдается при экономии трудовых затрат на обмер модельных деревьев, где измерения проводят в 5 – 8 точках. Это направление развивается и в БГТУ (Рябов и др.).