Студопедия — Предельное распределение
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Предельное распределение






Результаты серии измерений одной величины можно наглядно представить, построив диаграмму, которая показала бы, как часто получены те или иные значения. Такая диаграмма называется гистограммой.

Пусть, например, выполняется подсчет частиц, которые регистрируются счетчиком за одну минуту. Выполнено десять измерений и получены следующие результаты:

56, 59, 54, 58, 56, 57, 56, 58, 57, 57.

Эти результаты удобно записать в виде следующей таблицы, располагая их по мере возрастания значения.

Значения хk            
Число реализаций nk            

Полученные результаты позволяют вычислить среднее значение регистрируемых за одну минуту частиц:

, (3.1.1)

где N – число измерений.

Величину, определяющую долю от полного числа измерений, в которой реализуется результат xк принято называть частотой.

(3.1.2)

При этом среднее значение можно определить по формуле

(3.1.3)

Частоты Fk характеризует распределение результатов измерений в виде гистограмм, на которых по вертикальной оси откладывают значения Fk, а по горизонтальной - x k.

Рис. 2

Если сложить частоты всех возможных значений x k, то в результате получается единица

(3.1.4)

Это условие называют условием нормировки.

Гистограмма, представленная на Рис.2 определяет распределение дискретной величины. Вместе с этим, часто встречаются физические величины, имеющие непрерывный диапазон возможных значений. Например, при измерении расстояния между линзой и изображением предмета, могут быть получены следующие результаты (в сантиметрах):

26,4; 23,9; 25,1; 24,6; 22,7; 23,8; 25,2; 23,7; 25,3; 25,4.

Если по полученным результатам построить гистограмму, подобную предыдущей, то она будет содержать десять черточек одинаковой высоты и являться малоинформативной. Поэтому диапазон возможных значений разбивают на интервалы и подсчитывают, какое количество измерений попадает в каждый интервал. Выбирая интервал в размере Δ k = 1,0 см, можно построить следующую гистограмму для непрерывной функции:

Рис. 3

Причем для непрерывной величины площадь f k Δ k к-го прямоугольника (на Рис.3 он заштрихован) имеет такой же смысл, что и высота к-той черточки F k в случае гистограммы для дискретной величины (см. Рис.2).

При увеличении числа измерений N можно уменьшить ширину интервала Δk. Так на Рис.4а представлена гистограмма в случае ста измерений того же расстояния x при Δk = 1,0, а на Рис.4б – в случае тысячи измерений при Δk = 0,5.

а)

б)

Рис. 4

Гистограммы на Рис. 4 иллюстрируют важное свойство большинства измерений: с ростом числа измерений их распределение стремится к некоторой определенной непрерывной кривой – предельному распределению, которая соответствует гистограмме при N ® ¥ и Δk ® 0.

При наличии только случайных погрешностей предельное распределение представляет собой симметричную колоколообразную кривую, показанную на Рис.4б. Конечно, предельное распределение – теоретическая идеализация, которую никогда нельзя точно получить в эксперименте.

Предельное распределение определяет функцию, называемую плотностью распределения, которую обозначим f(x). Если известна f(x), можно разделить весь интервал значений x на малые интервалы от xk до xk + Δ xk. Тогда доля значений, попавшая в каждый такой интервал, будет Fk = f (xkxk и формула (3.1.3), определяющая среднее значение величины, в пределе, когда все интервалы стремятся к нулю примет вид

(3.1.5)

Доля измерений (при N ® ¥), которая попадает в любой бесконечно малый интервал от x до x + dx, будет равна площади f(x) dx заштрихованного участка на Рис.5а. В случае интервала конечной ширины. например от x1 до x2, доля от полного числа измерений, попадающих в данный интервал равна площади под кривой между x = x1 и x = x2 (Рис.5б). Она определяется путем интегрирования: доля измерений в интервале от x1 до x2 равна .

а) б)

Рис. 5

Сказанное можно выразить другим очень полезным способом:

(3.1.6) данный интеграл определяет вероятность попадания любого единичного измерения в интервал от x = x1 до x = x2

Отсюда можно сделать важное заключение: если бы было известно предельное распределение f(x) для результатов измерений данной величины x, то можно найти вероятность получения результата в любом заданном интервале x1 £ x £ x2.

Предельное распределение f(x) должно удовлетворять условию нормировки (аналогично (3.1.4) для дискретной функции): , (3.1.7)

которое означает, что при единичном измерении вероятность получения результата в пределах от -¥ до +¥ равна единице.

Наиболее употребительной мерой, характеризующей рассеяние случайной величины, является дисперсия, обозначаемая D x и определяемая по формуле

(3.1.8)

По аналогии с (3.1.5), когда N ® ¥ дисперсия определяется через функцию распределения

(3.1.9)

Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратичным или стандартным отклонением и обозначается sx

(3.1.10)







Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 735. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Методика обучения письму и письменной речи на иностранном языке в средней школе. Различают письмо и письменную речь. Письмо – объект овладения графической и орфографической системами иностранного языка для фиксации языкового и речевого материала...

Классификация холодных блюд и закусок. Урок №2 Тема: Холодные блюда и закуски. Значение холодных блюд и закусок. Классификация холодных блюд и закусок. Кулинарная обработка продуктов...

ТЕРМОДИНАМИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 1. Особенности термодинамического метода изучения биологических систем. Основные понятия термодинамики. Термодинамикой называется раздел физики...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

Дезинфекция предметов ухода, инструментов однократного и многократного использования   Дезинфекция изделий медицинского назначения проводится с целью уничтожения патогенных и условно-патогенных микроорганизмов - вирусов (в т...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия