Приемы разработки и выбора управленческих решений в условиях полной неопределенности

 

Экономическая ситуация уникальна, и решение в условиях неопре­деленности может приниматься с использованием методов моделиро­вания, основанных на теории игр (теории игре природой).

Формально изучение игр с природой должно начинаться с постро­ения платежной матрицы, так как это, по существу, наиболее трудоем­кий этап подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или природными стихийными силами).

Методы принятия решений в играх с природой зависят от характера неопределенности, точнее, оттого, известны или нет вероятности со­стояний (стратегий) природы, т.е. имеет ли место ситуация риска или ситуация неопределенности. Ниже будут описаны методы, применя­емые в обоих случаях.

Рассмотрим организацию и аналитическое представление игры с при­родой. Пусть игрок 1 имеет m возможных стратегий: A₁, A₂,..., А_m, а у при­роды имеется n возможных состояний (стратегий): П₁, П₂,..., П_n, тогда условия игры с природой задаются матрицей А выигрышей игрока 1:

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или сово­купность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объеди­ненных в понятие «природа»).

Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой – не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков, или матрицы упущенных возможностей. Величина риска – это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Мат­рица R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей А.

Риском r_ij игрока при использовании им стратегии А_i и при состоя­нии среды П_j будем называть разность между выигрышем, который иг­рок получил бы, если бы знал, что состоянием среды будет П_j, и выиг­рышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Зная состояние природы (ее стратегию) П_j, игрок выбирает ту стра­тегию, при которой его выигрыш максимален, т.е. r_ij = β_j – α_ij, где при заданном j.

Например, для матрицы выигрышей:

β₁ = 4, β₂=8, β₃=6, Р₄=9.

Согласно введенным определениям r_ij и β_j получаем матрицу рисков:

Независимо от вида матрицы игры требуется выбрать такую страте­гию игрока (чистую или смешанную, если последняя имеет смысл), которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими. Необхо­димо отметить, что в игре с природой понятие смешанной стратегии игрока не всегда правомерно, поскольку его действия могут быть альтер­нативными, т.е. выбор одной из стратегий отвергает все другие страте­гии (например, выбор альтернативных проектов). Прежде всего следует проверить, нет ли среди стратегий игрока мажорируемых (мажорирова­ние – отношение между стратегиями, наличие которого во многих практических случаях дает возможность сократить размеры исходной пла­тежной матрицы игры), и, если таковые имеются, исключить их.

Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероят­ностях состояний среды (природы), называют «безнадежной» или «дур­ной». В таких случаях для определения наилучших решений использу­ются следующие критерии: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Применение каждого из перечисленных критериев проиллюстри­руем на примере матрицы выигрышей или связанной с ней матрицы рисков.

Выбор стратегии по критерию максимакса. С помощью этого крите­рия определяется стратегия, максимизирующая максимальные выиг­рыши для каждого состояния природы. Это критерий крайнего опти­мизма. Наилучшим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш (М):

Нетрудно увидеть, что для матрицы А наилучшим решением будет А₁, при котором достигается максимальный выигрыш – 9.

Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия, в экономике в общем нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное по­ложение, когда они вынуждены руководствоваться принципом «или пан, или пропал».

Выбор решения по критерию Вальда (максиминный критерий). С пози­ций данного критерия природа рассматривается как агрессивно настро­енный и сознательно действующий противник. Выбирается решение, для которого достигается значение максимального критерия (W):

Для платежной матрицы А нетрудно рассчитать, что:

для первой стратегии (i = 1)

для второй стратегии (i =2)

для третьей стратегии (i =3)

Тогда

что соответствует второй стратегии А₂ игрока 1.

В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудачных ре­зультатов выбирается лучший (W = 3). Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая страте­гия приемлема, например, в случаях, когда игрок не столь заинтересо­ван в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных про­игрышей. Выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску.

Выбор решения по критерию Сэвиджа (минимаксный критерий). Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем от­личием, что и грок руководствуется не матрицей выигрышей A, а матри­цей рисков R:

Для матрицы R нетрудно рассчитать, что:

для первой стратегии (i = 1)

для второй стратегии (i=2)

для третьей стратегии (i =3)

Минимально возможный из самых крупных рисков, равный 4, дос­тигается при использовании первой стратегии А₁.

Выбор решения по критерию Гурвица (критерий пессимизма-оптимиз­ма). Этот критерий при выборе решения рекомендует руководство­ваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением:

где Н_А – критерий пессимизма-оптимизма применительно к матри­це А;

р – коэффициент пессимизма (0 <р < 1).

При p = 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при р = 1 – с критерием Вальда. Покажем процедуру применения данного критерия для матрицы А при р = 0,5:

для первой стратегии (i = 1)

для второй стратегии (i = 2)

для третьей стратегии (i = 3)

Тогда:

т.е. оптимальна вторая стратегия А₂.

Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-опти­мизма Гурвица имеет вид:

где H_R – критерий пессимизма-оптимизма применительно к матри­це А.

При p = 0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по условию наи­меньшего из всех возможных рисков ; при p = 1 – по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

В случае, когда по принятому критерию рекомендуется к исполь­зованию несколько стратегий, выбор между ними может делаться по дополнительному критерию. Например, в расчет могут прини­маться средние квадратичные отклонения от средних выигрышей при каждой стратегии. Еще раз подчеркнем, что стандартного под­хода здесь нет. Выбор может зависеть даже от склонности к риску ЛПР.

Таким образом, в случае отсутствия информации о вероятностях со­стояний среды теория не дает однозначных и математически строгих рекомендаций по выбору критериев принятия решений. Это объясня­ется в большей мере не слабостью теории, а неопределенностью самой ситуации. Единственный разумный выход в подобных случаях – попы­таться получить дополнительную информацию, например, путем про­ведения исследований или экспериментов.

В отсутствие дополнительной информации принимаемые реше­ния теоретически недостаточно обоснованы и в значительной мере субъективны. Хотя применение математических методов в играх с при­родой не дает абсолютно достоверного результата и последний в опре­деленной степени субъективен (вследствие произвольности выбора критерия принятия решения), оно, тем не менее, создает некоторое упорядочение имеющихся в распоряжении руководителя данных: за­даются множество состояний природы, определяются альтернативные решения, выигрыши и потери при различных сочетаниях состояния «среда – решение». Такое упорядочение представлений о проблеме само по себе способствует повышению качества принимаемых реше­ний.