Постановка задачи и параметры математической модели. Если задача статически определима, т.е

Если задача статически определима, т.е. функция Q(r) известна, то из (7) с учетом (8а), (9а) получаем уравнение типа Ламе

,

интегрируя которое имеем

. (5*)

 

Такой же результат получаем, естественно, дифференцируя (2*) с учетом (3*) и (8а).

В качестве примера рассмотрим задачу расчета плоского днища цилиндрической оболочки (схема в первом примере граничных условий).

Здесь: , , , , .

Подставляя в (8а), (9а) находим

.

Подставляем в (4а), (5а)

.

В месте сопряжения с оболочкой при получаем

.

Сравнивая с напряжениями в оболочке, получаем, что напряжения в свободном днище в больше. Именно по этому в сосудах используют сферические или полусферические днища.

В заключении определим перемещения. Подставляя полученное выражение для θ в (1*), интегрируя, с учетом граничного условия получаем

.

Напомним, что расчет проведен в предположении свободного закрепления пластины в направлении радиуса.

 

Круглые пластины. Моментная теория

Постановка задачи и параметры математической модели

Задачу удобно решать в цилиндрических координатах, направив ось z по нормали к срединной поверхности, ось r –по радиусу, поместив начало координат в центре пластины. Перемещение по нормали к срединной поверхности –w(r), Гипотеза Бернулли здесь формулируется так: нормаль к срединной поверхности остается прямой. Угол поворота нормали в радиальной плоскости – θ(r). Нагрузка симметрична относительно оси пластины – q_z(r)=p(r). Напряжения по нормали к срединной поверхности малы (порядка давления p) и ими можно пренебречь.

Примеры – плоское днище цилиндрического сосуда или резервуара, толстая мембрана, цилиндрические упругие элементы, клапана.

Параметры задачи:

- w(r), перемещение срединной поверхности по оси z;

- θ(r), угол поворота нормали в радиальной плоскости;

- , давление на пластину;

- Q(r), поперечная сила в радиальной плоскости на единицу длины дуги;

- , изгибающий момент в радиальной плоскости на единицу длины дуги;

- , изгибающий момент в тангенциальной плоскости (касательной к окружности радиусом r) на единицу длины дуги;

- , нормальное напряжение в радиальной плоскости;

- , нормальное напряжение в тангенциальной плоскости;

- , линейная деформация в радиальной плоскости;

- , линейная деформация в тангенциальной плоскости.

В перечне отсутствуют касательные напряжения и поперечные силы в тангенциальной плоскости, так как отсутствуют угловые деформации вследствие симметрии задачи. Касательными напряжениями в радиальной плоскости пренебрегаем как малыми в сравнении с нормальными напряжениями (как и в стержнях).

Срединную поверхность считаем не растяжимой. Граничные условия обеспечивают свободу перемещений в радиальном направлении.

Все необходимые иллюстрации приведены на рисунке.