Студопедия — Решение. Подынтегральная функция на отрезке a = 0 и b = 1 равна .
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение. Подынтегральная функция на отрезке a = 0 и b = 1 равна .






Подынтегральная функция на отрезке a = 0 и b = 1 равна .

Находим шаг вычислений

.

Отсюда точки иртегрирования:

.

Тогда по формуле трапеций имеем

.

Ответ: .

Пример 16.2. Пользуясь формулой трапеций вычислить определённый интеграл

.

 

Пример 16.3. Пользуясь формулой трапеций вычислить определённый интеграл

.

 

[kgl].

 

[gl] Тема 17. Метод Симпсона (парабол). Геометрическая инртерпретация метода [:]

 

Если заменить график функции y = f (x) на каждом отрезке [ x I 1; xi ] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближённого вычисления интеграла .

Предварительно найдём площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы y = ax 2 + bx + c (с осью симметрии, параллельной оси ординат Oy), сбоку – прямыми x = – h, x = h и снизу – отрезком [– h; h ].

Пусть парабола проходит через три точки , где – ордината параболы в точке x = – h; y 1 = c – ордината параболы в точке x = 0; – ордината параболы в точке x = h (рисунок 17.1).

 

M 3
y = ax 2 + bx + c
M 2
M 1
y 0
y 1
y 2
y
h
O
h
x

 

 


Рисунок 17.1 – К элементарной формуле парабол

Площадь S равна

. (17.1)

Выразим эту площадь через h, y 0, y 1, y 2. Из равенств для ординат yi находим, что . Подставляя эти значения c и a в равенство (17.1), получаем

. (17.2)

Получим теперь формулу парабол для приближённого вычисления интеграла .

Для этого отрезок [ a; b ] разобьём на 2 n частей (отрезков) длиной точками .

В точках деления вычисляем значения подынтегральной функции f (x): , где yi = f (xi) (рисунок 17.2).

 

y
x
y = f (x)
y 0
y 1
y 2
y 2 n – 2
y 2 n – 1
y 2 n
x 2 n – 2
x 2 n – 1
x 2 n = b
x 2
x 1
x 3
a = x 0
O

 


Рисунок 17.2 – Приближённое вычисление интеграла по формуле Симпсона (парабол)

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2 n. На отрезке [ x 0, x 2] парабола проходит через три точки (x 0; y 0), (x 1; y 1); (x 2; y 2). Используя формулу (17.2), находим

.

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

или

(17.3)

Формула (17.3) называется формулой парабол (или Симпсона).

 

Пример 17.1. Вычислить приближённо определённый интеграл , разбив отрезок [0; 2] на 4 части.

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 569. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Реформы П.А.Столыпина Сегодня уже никто не сомневается в том, что экономическая политика П...

Виды нарушений опорно-двигательного аппарата у детей В общеупотребительном значении нарушение опорно-двигательного аппарата (ОДА) идентифицируется с нарушениями двигательных функций и определенными органическими поражениями (дефектами)...

Особенности массовой коммуникации Развитие средств связи и информации привело к возникновению явления массовой коммуникации...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия