Из формулы (3.4) видно, что при неявном дифференцировании вторая производная зависит от аргумента , от функции и её производной .

Пример 3.5. Найти уравнение касательной и нормальной прямой в точке А к линии заданной уравнением .

Решение. Проверкой убеждаемся, что точка А(1;2) принадлежит линии, задаваемой уравнением. Пусть переменная будет аргументом функции . В данном случае функция задана неявным образом. Уравнения касательной и нормали в точке касания имеют вид

(3.5)

и

(3.6)

соответственно.

Как видно из этих уравнений нам потребуется значение производной функции в точке касания. Применяя правило неявного дифференцирования, вычисляем производную в точке

Отсюда выписываем уравнение для определения производной

и вычисляем . Поэтому

Подставляя вычисленные значения в уравнение касательной (5.4), получаем

. Запишем это уравнение в общем виде . Подставляя вычисленные значения в уравнение нормали (4.5),

получаем . Или аналогично предыдущему .

Параметрические уравнения задания линий.

Существует ещё один способ задания линий, при котором координаты

считаются равноправными: это задание кривых параметрическими уравнениями.

Координаты являются функциями некоторого параметра (скажем, времени)

(3.7)

Параметр обычно изменяется в каком-нибудь интервале .

Пример 3.6. Определить уравнения кривых в декартовой системе координат

Решение. Анализируем первую систему уравнений. Возводим оба уравнения системы 1) в квадрат и, складывая, получаем . Данная кривая это окружность единичного радиуса: . Аналогично для системы 2) получаем . Это уравнение прямой линии .

Если при параметрическом задании функции считать переменную функцией, а переменную аргументом то возникает вопрос каким образом вычислить производную функции по аргументу . Для этого существует правило параметрического дифференцирования. Причем производная также записывается в параметрическом виде.

Теорема 3.1. Пусть функция задана в параметрическом виде

Тогда её производная по аргументу записывается в параметрическом виде формулами

(3.8)

Доказательство. По условию функция записана параметрическими уравнениями . Откуда . Дифференцируя обе части по параметру и используя цепное правило, получаем или

разделив обе части на будем иметь . Формула (3.8) доказана.

Обозначим для простоты записи , тогда формулу (3.8) можно переписать

в виде (3.9)

Поскольку вторая производная есть производная от первой производной, то применяя правило параметрического дифференцирования к параметрической записи первой производной (3.8) или (что тоже самое 3.9) получаем параметрическую запись второй производной

(3.10)

Контрольные вопросы.

I. Как задаётся неявная функция?

II. Является ли линия задаваемой неявной функцией графиком?

III. Сформулируйте правило дифференцирования неявно заданной функции. От чего зависит полученная производная.

IV. Является ли линия, задаваемая параметрическими уравнениями графиком?

V. Сформулируйте правило параметрического дифференцирования.

Далее предлагаются упражнения по данной теме для самостоятельной работы. В разделе ответы и решения приведены решения упражнений и ответы.

Упражнение 3.1 Функция задана неявно уравнением и дополнительным условием: 1) ; 2) . Найти явную формулу для функции.

Упражнение 3.2. Доказать, что данные формулы задают одну и туже линию

Упражнение 3.3. Функция определена уравнением

и условием (см. пример 3.2) . Вычислить производную

1) Применяя правило неявного дифференцирования

2) Используя решение примера 3.1.

3) Результаты сравнить.

Упражнение 3. 4 Применяя правило неявного дифференцирования,

вычислить производные от функций заданных неявно (уравнениями)

Упражнение 3.5. Применяя правило неявного дифференцирования, вычислить

вторую производную от функций заданных неявно (уравнениями)

Упражнение 3.6. Вычислить и записать в параметрическом виде первую и вторую производные от функции заданной в параметрическом

виде

Упражнение 3.7. Вычислить и записать в параметрическом виде первую производную от функций заданных в параметрическом виде 4)

Упражнение 3.8. Написать уравнение касательной и нормали к заданным кривым

(см. формулы (3.5),(3.6)).

1) при ; 2) , в точке (0;1).