| 1 Область определения функции нескольких переменных
|
Пусть даны два числовых множества  и  , где  некоторая область из пространства  , а  некоторое подмножество множества  . Если каждой паре чисел  по некоторому правилу (закону) поставлено в соответствие единственное число  , то говорят, что на множестве задана функция двух переменных  . При этом  и  называются независимыми переменными (или аргументами),  зависимой переменной (или функцией), множество областью определения функции, а множеством значений функции.
|
Задача.
Найти область определения функции  .
Решение. Функция определена при условии  , т.е.  . Это круг с центром в начале координат и радиусом 1, включающий свою границу, т.е. окружность  .
|
| 2 Предел функции нескольких переменных
|
Число  называется пределом функции  при  , если для любого числа  найдется такая  окрестность точки  , что для любой точки  из этой окрестности (за исключением, быть может, точки ) имеет место неравенство  .
При этом пишут  или  , так как при  , очевидно  ,  ,...,  .
| Задача.
Найти предел  .
Решение.
 .
Ответ. 2.
|
| 3 Частные производные функции нескольких переменных
|
Частной производной функции по переменной , в точке  называется предел (если таковой существует) отношения частного приращения  к приращению аргумента  при стремлении последнего к нулю:
Аналогично определяется частная производная
Для обозначения частных производных функции двух переменных применяются следующие символы:
 .
| Задача.
Найти частные производные функции  .
Решение.
|
| 4 Частные производные высших порядков
|
Пусть имеем некоторую функцию  от двух переменных и . Ее частные производные  и  являются функциями от переменных и . В некоторых случаях для этих функций существуют снова частные производные, называемые частными производными второго порядка (или просто вторыми частными производными):
 ,
 ,
 ,
 .
Теорема.Если в некоторой окрестности точки производные  и  существуют и непрерывны в самой точке , то они равны между собой в этой точке, т.е. имеет место равенство:
 .
| Задача.
Пусть 
Имеем  ,
 ,
 ,
 ,  .
|
| 5 Производная сложной функции. Случай одной независимой переменной.
|
Теорема. Если функции  и  дифференцируемы в точке  , а функция дифференцируема в соответствующей точке  , то сложная функция  также дифференцируема в точке и имеет место формула
 .
| Задача.
Пусть  , где  .
Решение.
 .
|
Если  ,  . Тогда  является сложной функцией переменной  , где
 .
| Задача.
Пусть  , где  .
Решение.
  .
|
| 6 Производная сложной функции. Случай нескольких независимых переменных.
|
Если функции  ,  дифференцируемы в точке  , а функция дифференцируема в точке  , где , то сложная функция  дифференцируема в точке , причем ее частные производные в этой точке находятся по формулам
| Задача.
Пусть  ,  , 
Решение.
|
| 7 Полный дифференциал функции
|
Выражение  называется полным приращениемфункции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.
Полным дифференциаломфункции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).
Для функции произвольного числа переменных:
| Задача.
Найти полный дифференциал функции  .
|
| 8 Производная неявно заданной функции
|
Если  - дифференцируемая функция переменных ,  и  в некоторой области D и  , то уравнение  определяет однозначно неявную функцию  , также дифференцируемую, и
 , 
| Задача.
Найти производную неявной функции , заданной уравнением  , и вычислить ее значение в точке  .
Решение. Введем обозначение  . Тогда  . Следовательно,
 и  .
|
| 9 Приближенные вычисления с помощью дифференциала
|
В приближенных вычислениях пользуются данной формулой.
| Задача.
Вычислить приближенно с помощью дифференциала  .
Решение.
Рассмотрим функцию  .
или
 .
Положим теперь  ; тогда
 . Следовательно,
 .
Или  .
|
| 10 Касательная плоскость к поверхности
|
Плоскость, проходящая через точку  , называется касательной плоскостью к поверхности в точке , если угол между секущей  и этой плоскостью стремится к нулю, когда расстояние стремится к нулю, каким бы образом точка  на поверхности ни стремилась к точке .
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке  , если плоскость задана неявно:
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , если плоскость задана явно:
| Задача.
Найти уравнение касательной плоскости к сфере  в точке , где  .
Решение.
Подставляя  и  в уравнение сферы, находим  , т.е.  . Запишем уравнение сферы в неявном виде:  , откуда
 .
Найдем  ,  ,  .
Уравнение касательной плоскости:  , или
 - плоскость параллельна оси  .
|
| 11 Нормаль к поверхности
|
Уравнение нормали в точке  к поверхности, заданной неявно, запишется в виде:
 .
Уравнение нормали в точке к поверхности, заданной явно, запишется в виде:
| Задача.
Записать уравнения нормали к поверхности  в точке  .
Решение.
Поскольку  , то
 ,  .
Уравнение нормали:  .
|
| 12 Экстремум функции нескольких переменных
|
Алгоритм исследования функции  на экстремум
1) Проверить необходимое условие экстремума:
1. Найти частные производные первого порядка 
2. Решив систему уравнений
найти точки возможного экстремума.
2) Проверить достаточные условия экстремума:
1.Найти частные производные второго порядка 
2. Составить матрицу  , где  ,  ,  .
| Задача.
Исследовать на экстремум функцию
 .
Решение.
Областью определения является вся плоскость  . Найдем критические точки.
 ,  .
Приравнивая эти производные нулю, приходим к системе:
Решая эту систему уравнений, находим четыре критические точки
 .
Теперь найдем вторые частные производные:  и составим выражение
 .
Тогда:
1)  точка минимума;
2)  , в точке  экстремума нет;
3)  , в точке  экстремума нет;
4)   точка максимума.
Итак, данная функция имеет два экстремума: в точке  минимум,  и в точке  максимум, 
|
| | | | | | | | | | | | |
