15. Алгебраичес-кое дополнение
| Алгебраическим дополнением
элемента , где , называется минор этого элемента, взятый со знаком . где .
|
Задача.
Дано: . Найти .
Решение.
.
Ответ. 2.
|
16.Определи-тели го
порядка
| Определитель го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом
и определяется как число
где есть алгебраические дополнения соответствующих элементов .
| Задача.
Вычислить определитель .
.
.
.
Значение определителя: .
|
17. Понятие
вырожденной и невырожденной матрицы
| Обозначим через определитель матрицы и вычислим его. Тогда, если , то матрицу называют неособенной (невырожденной) матрицей, если же , то особенной (вырожденной) матрицей.
| .
.
Так как , то матрица невырожденная.
|
18. Обратная
матрица
| Квадратная матрица порядка называется обратной матрицей для данной матрицы , если
где единичная матрица.
Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу , определяемую формулой
,
где есть алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .
| Задача.
Дана матрица , найти .
Решение.
det A = 4 - 6 = -2.
M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1
x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2
Таким образом, .
|
19. Ранг матрицы
| Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается или . Очевидно, что , где меньшее из чисел и . Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.
| Задача.
Дана матрица . Определить ее ранг. Решение.
Имеем , .
Минор четвертого порядка составить нельзя.
Ответ.
|
20. Определение
ранга матрицы методом элементарных преобразований
| Простейший способ определения ранга матрицы состоит в приведении ее к ступенчатому виду при помощи последовательности элементарных преобразований.
К ним относятся:
- умножение строки на произвольное число, отличное от нуля;
- прибавление к некоторой строке любой другой строки, умноженной на одно и тоже число;
- вычеркивание нулевой строки.
| Задача.
Найти ранг матрицы .
Решение.
После вычитания первой строки из остальных получаем эквивалентную матрицу, а из последней умноженную на 2, .
Поскольку три строки промежуточной матрицы были пропорциональны, то из них можно получить две ненулевые строки, которые мы отбросили. Ясно, что т.к.
|
21. Совместная и несовместная система линейных уравнений. Определенная и неопределенная система линейных уравнений.
Теорема Кронекера – Капелли.
| Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, имеющая только одно решение определенной, имеющая более одного решения - неопределенной,не имеющая ни одного решения - несовместной.
Теорема 1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы
| Задача.
Определить совместность системы линейных уравнений:
|
|
Теорема 2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема 3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
|
Ранг A = 2
Ранг . Система несовместна.
|
22. Решение
системы линейных уравнений по формулам Крамера
| Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
xi = Di /D, где
D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
; ; ; ;
; ; .
| Задача.
Решить по формулам Крамера систему уравнений
Решение.
Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы.
Так как ,то решение можно найти по формулам Крамера:
Тогда
Ответ. {1;2}.
|
23. Решение систем линейных уравнений матричным методом
|
Задача.
Решить матричным способом систему уравнений
Решение.
Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы: . Так как , то система имеет единственное решение. Составим матрицы Так как определитель системы , то матрица имеет обратную матрицу , где Вычислим алгебраические дополнения всех элементов
Тогда .
|
24. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
| Метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ¹ 0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения;
2) умножим на а31 и вычтем из третье и т.д.
Получим:
,
где , j = 2, 3, …, n+1.
, i = 2, 3, …, n;
j = 2, 3, …, n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.
| Задача.
Решить систему методом Гаусса.
Решение.
Составим расширенную матрицу системы.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
,
откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.
|
§3 Векторы
|
25. Вектор.
Координаты вектора.
| Вектором называется направленный отрезок. Пусть точка есть начало вектора, а точка его конец, тогда этот вектор обозначается символом и изображается с помощью стрелки.
Если заданы 2 точки в пространстве и , то .
| Задача.
Дано: , . Найти координаты вектора .
Решение.
,
.
Ответ. .
|
26. Модуль вектора
| Расстояние между началом и концом вектора называется длиной вектораили его модулем. Модуль вектора обозначается символами
Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве , , то .
Если , то .
| Задача.
Дано: , . Найти .
Решение.
,
,
.
Ответ. .
|
27. Нулевой вектор
| Вектор, начало которого совпадает с его концом, называется нулевым и обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления и его .
|
|
28. Понятие
коллинеарных векторов
| Векторы, расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными.
Пусть векторы и заданы в координатной форме: ,
. -условие коллинеарности двух векторов
| Задача.
При каких и векторы и коллинеарны?
Решение.
Так как , то .
Отсюда находим, что ; .
|
29. Понятие
компланарных векторов
| Векторы, расположенные на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными.
|
векторы , , - компланарные.
|
30. Понятие
равенства векторов
| Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину. Равенство векторов записывается в виде . В координатной форме:
, если .
|
|
31. Противопо-
ложный вектор
| Вектор называется противоположным вектором для вектора , если он ему коллинеарен, имеет одинаковую с длину, но направлен в противоположную сторону. Векторы и называются взаимно-противоположными векторами.
|
|
32. Единичный
вектор
| Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, обозначается символом и определяется по формуле .
| Задача.
(Координаты единичного вектора).
Определить координаты единичного вектора , если .
Решение.
,
следовательно,
.
|
33. Направляющие
косинусы вектора
| Обозначим через углы, между вектором и осями координат . Тогда из прямоугольных треугольников получим
.
| Задача.
Вектор задан координатами своих концов: и . Найти проекции вектора на координатные оси и его направляющие косинусы.
Решение.
Находим проекции вектора на координатные оси: ,
, , а модуль вектора . Вычислим направляющие косинусы:
; ; .
Ответ. ; ; .
|
34. Сумма векторов
| Суммой векторов и называется третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора .
Пусть векторы и заданы в координатной форме:
Сумма векторов: .
| Задача.
Дано: , . Найти .
Решение.
,
.
Ответ. .
|
35. Разность
векторов
| Разностью векторов и называется такой вектор , что .
Разность векторов в координатной форме:
| Задача.
Дано: , . Найти .
Решение.
,
.
Ответ. .
|
36. Умножение векторов
| Пусть даны вектор и число . Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и то же направление, что и вектор , если , и противоположное направление, если . Если , то .
Произведение вектора = на число в координатной форме: =
| Задача.
Дано: . Найти 3 .
Решение.
3 ={6;0;9}.
Ответ. {6;0;9}.
|
37. Деление отрезка в данном
отношении
| Если точка делит отрезок , где , в отношении , т.е. , то ее координаты находятся по формулам
, ,
.
В частности, при точка делит отрезок пополам , , .
| Задача.
Даны точки и . На прямой найти точку , делящую отрезок в отношении .
Решение.
,
,
.
Следовательно, искомая точка .
Ответ. .
|
38. Проекция
вектора на ось
| Проекция вектора на ось равна модулю вектора
|
<== предыдущая лекция |
| |
следующая лекция ==> |
Глава 13. Определенный интеграл | | | |
Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...
|
Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...
|
Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...
|
Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...
|
|
Ганглиоблокаторы. Классификация. Механизм действия. Фармакодинамика. Применение.Побочные эфффекты Никотинчувствительные холинорецепторы (н-холинорецепторы) в основном локализованы на постсинаптических мембранах в синапсах скелетной мускулатуры...
Шов первичный, первично отсроченный, вторичный (показания) В зависимости от времени и условий наложения выделяют швы:
1) первичные...
Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...
|
|
Виды и жанры театрализованных представлений
Проживание бронируется и оплачивается слушателями самостоятельно...
Что происходит при встрече с близнецовым пламенем
Если встреча с родственной душой может произойти достаточно спокойно – то встреча с близнецовым пламенем всегда подобна вспышке...
Реостаты и резисторы силовой цепи. Реостаты и резисторы силовой цепи.
Резисторы и реостаты предназначены для ограничения тока в электрических цепях. В зависимости от назначения различают пусковые...
|