Теорема о пропорциональных отрезках. Деление отрезка в заданном отношении.

Теорема о пропорциональных отрезках является обобщением теоремы Фалеса. Напомним, что для использования теоремы Фалеса необходимо, чтобы параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекали на одной из них равные отрезки. Обобщенная же теорема Фалеса утверждает, что если параллельные прямые пересекают две данные прямые, то отрезки, отсекаемые ими на одной прямой, пропорциональны отрезкам, отсекаемым на второй прямой. Теорема о пропорциональных отрезках доказывается аналогично теореме Фалеса (только вместо равенства треугольников здесь используется их подобие).

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса): Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки.

Дано:

прямые a, b;

A ₁, A ₂, A ₃Ì a;

B ₁, B ₂, B ₃Ì b;

A ₁ B ₁ïê A ₂ B ₂ïê A ₃ B ₃.

Доказать: .

Доказательство:Рассмотрим два случая: a ïê b (рисунок 4а) и a Ç b (рисунок 4б):

a ïê b:

1. A ₁ A ₂ B ₂ B ₁, A ₂ A ₃ B ₃ B ₂ – параллелограммы по определению, Þ по свойству противоположных сторон параллелограмма A ₁ A ₂ = B ₁ B ₂, A ₂ A ₃ = B ₂ B ₃, и равенство верно.

a Ç b:

2. Проведем через точку B ₂ прямую PQ ïê a: P Î A ₁ B ₁, Q Î A ₃ B ₃. Тогда по св-ву противоположных сторон п/г PB ₂ = A ₁ A ₂, B ₂ Q = A ₂ A ₃.

3. D B ₁ B ₂ P ~ D B ₃ B ₂ Q по двум углам (Ð B ₁ B ₂ P =Ð B ₃ B ₂ Q как вертикальные, Ð B ₁ PB ₂=Ð B ₃ QB ₂ как внутр. н/л при A ₁ B ₁ïê A ₃ B ₃ и секущей PQ); Þ по определению подобных треугольников . Подставив в полученную пропорцию A ₁ A ₂, вместо B ₂ P, и A ₂ A ₃ вместо B ₂ Q (смотри п. 2), получим: . Поменяем местами средние члены пропорции: . #

Замечание: Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках легко обобщить на произвольное количество пар отрезков.

Покажем, как с использованием обобщенной теоремы Фалеса поделить отрезок в заданном отношении:

Пусть заданы отрезок AB и натуральные числа m и n. Необходимо найти на отрезке AB такую точку M, чтобы AM: MB = m: n.

Дано:

отрезок AB;

m, n Ì N.

Построить: т. M Î AB:

AM: MB = m: n.

Построение:

1. Проведем из точки A луч AX так, чтобы угол BAX не был развернутым (рисунок 5). Выберем отрезок произвольной длины d и отложим на луче AX отрезки AA ₁ = A ₁ A ₂ = … = A_{m -1} A_m = A_mB ₁ = B ₁ B ₂ = … =
= B_{n -1} B_n = d.

2. Соединим точки B и B_n и проведем через точку A_m прямую A_mM ïê BB_n так, чтобы M Î AB.

3. Точка M – искомая: a ïê A_mM ïê BB_n, Þ по теореме о пропорциональных отрезках (понятно, что проводить через точку A прямую a ïê A_mM необязательно). #