Примеры метрических пространствПриведем примеры наиболее часто встречающихся метрических пространств. При этом первые две аксиомы проверяются без труда. Для проверки аксиомы треугольника в ряде случаев используются известные неравенства, имеющие самостоятельное значение. Доказательство таких неравенств, как правило, приводится в приложении. 1. Пространство изолированных точек (или дискретное метрическое пространство) - это произвольное множество, для которого Все три аксиомы очевидно выполняются. 2. Множество действительных чисел с расстоянием образует метрическое пространство . 3. Во множестве действительных чисел метрику можно также определить по формуле Здесь определяется как в примере 2. 4. Евклидово пространство - это множество упорядоченных наборов из действительных чисел с расстоянием () (1.5) Пусть , , ; тогда аксиома треугольника записывается в виде . (1.6) Полагая , , получаем , а неравенство (1.6) принимает вид . (1.7) Это – так называемое неравенство Минковского. Его доказательство приводится в приложении. 5. Пространство всех ограниченных числовых последовательностей . Последовательность ограничена, если найдется такое число , что верно неравенство для всех . Для двух числовых последовательностей и расстояние определяется по формуле . Проверим аксиому треугольника. Имеем . Отсюда . 6. Пространство состоит из вещественных последовательностей , для которых . Расстояние в нем определяется по формуле . Неравенство треугольника проверяется с помощью неравенства Минковского, приводимого в приложении. 7. Пространство всех числовых последовательностей. Метрику в нем определяем по формуле . Этот ряд, очевидно, сходится. Для проверки неравенства треугольника, вначале докажем одно вспомогательное неравенство. Пусть . Тогда . Деля это неравенство на , получим . (1.8) Возьмем три последовательности , и . Для каждого справедливо неравенство и с учетом (1.8) имеем . (1.9) Умножая крайние члены ряда (1.9) на и суммируя по , получим неравенство треугольника. 8. Пространство всех непрерывных действительных функций , определенных на отрезке , с расстоянием . Проверим аксиому треугольника. Имеем . (1.10) Так как неравенство (1.10) справедливо при всех , то получим . Следовательно - метрическое пространство. 9. Пространство состоит из всех измеримых по Лебегу на функций , для которых , где - некоторое положительное число. Расстояние в этом пространстве определяется по формуле . Неравенство треугольника проверяется с помощью неравенства Минковского для интегралов, приводимого в приложении. 10. В заключении приведем еще одно пространство. На действительной прямой определим метрику с помощью строго монотонной действительной функции , полагая . Аксиомы метрического пространства проверяются без труда.
|