Студопедия — Определение 12. Множество в метрическом пространстве называется равномерно ограниченным, если найдется постоянная такая, что для всех и .
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение 12. Множество в метрическом пространстве называется равномерно ограниченным, если найдется постоянная такая, что для всех и .






Это равносильно тому, что множество ограничено в метрическом пространстве .

Определение 13. Множество в метрическом пространстве называется равностепенно непрерывным, если для любого существует такое такое, что для любых ,для которых и любой функции выполнено

.

Теорема 3 (Арцела-Асколи). Для того, чтобы множество было относительно компактным необходимо и достаточно, чтобы оно было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Доказательство. Необходимость. Пусть множество относительно компактно, тогда оно ограничено в пространстве , т.е. равномерно ограничено. Нужно проверить равностепенную непрерывность. Зададим и построим конечную - сеть . Функции , равномерно непрерывны на отрезке . Поэтому для каждой функции найдется так, чтобы при для любых выполнялось неравенство

, .

Положим . Тогда для любых , удовлетворяющих неравенству , и всех будем иметь неравенство

.

При выводе последнего неравенства мы учли то, что является - сеть для множества . Следовательно, доказали равностепенную непрерывность.

Достаточность. Дано ограниченное и равностепенно непрерывное семейство . Необходимо доказать вполне ограниченность . Из ограниченности следует неравенство

, , .

Зададим и, используя равностепенную непрерывность, найдем так, чтобы

при для всех . Затем построим сетку: разобьем отрезок точками на интервалы длины меньше , а отрезок - точками на интервалы длины меньше . Пусть - семейство непрерывных функций, принимающих в точках значения и линейных на отрезках . Это семейство конечно.

Докажем, что семейство является - сетью для множества . По функции выберем функцию так, чтобы выполнялось неравенство

. .

Отсюда получим

.

Так как на отрезке функция линейна, то

, .

Наконец, возьмем произвольную точку из отрезка . Тогда найдется такое, что . Отсюда

.

Из полученного неравенства следует, что семейство является - сетью для множества . Теорема доказана.

 

3.4. Относительная компактность в пространствах и

Теорема 4. Множество в метрическом пространстве , , относительно компактно тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1) существует такое число , что для любых ;

2) для любого существует номер такой, что для всех выполнено неравенство .

Необходимость. Условие 1) означает ограниченность множества в метрическом

пространстве . Оно следует из относительной компактности. Докажем необходимость второго условия. Обозначим

, .

Тогда и имеет место соотношение

.

Очевидно, что , при . Далее, справедливо неравенство

, .

Возьмем и построим - сеть для множества : . Тогда для любого найдется такая, что . Применяя неравенство треугольника, найдем

.

Поскольку при , то найдется число такое, что при и всех . Тогда для всех .

Достаточность. Для произвольного выберем так, чтобы

,

и зафиксируем . Каждому поставим в соответствие . Очевидно, что . Кроме того, можно показать, что множество является компактным. Следовательно, построена компактная - сеть для и по следствию к теореме Хаусдорфа, множество относительно компактно. Теорема доказана.

Второй способ доказательства достаточности. Выше мы построили компактную - сеть для , а теперь построим конечную - сеть для . Выберем так, чтобы

, .

Возьмем , и рассмотрим конечное множество :

.

Докажем, что множество образует - сеть для . Для выберем , где - целая часть числа . Тогда

.

По теореме Хаусдорфа множество относительно компактно. Теорема доказана.

В заключение приведем без доказательства критерий относительной компактности в пространстве .

Теорема 5 (М.Рисс). Множество , , является относительно компактным тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1) существует постоянная такая, что

, ;

2) для любого существует такое, что при

, .

Доказательство. Пусть - относительно компактное множество в . Относительно компактное множество ограничено, поэтому 1) выполнено. Возьмем и построим конечную -сеть для множества . Поскольку каждая функция из непрерывна в среднем [4], то существует такое , что при верно неравенство , . Возьмем произвольную функцию и найдем такую функцию из - сети, чтобы . Тогда, если , то из неравенства треугольника получим

.

При этом выводе мы воспользовались тем, что функции и равны нулю вне отрезка . Тем самым проверено второе условие и необходимость доказана.

Достаточность. Вначале выведем вспомогательные неравенства для функций Стеклова . Имеем

,

и

Из условий теоремы 1) и 2) и этих неравенств следует, что при фиксированном функции семейства , когда равномерно ограничены и равностепенно непрерывны: и при . По теореме Арцела – Асколи любая последовательность этого семейства имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность. Эта подпоследовательность также сходится в , т. е. семейство относительно компактно в .

С другой стороны

.

Отсюда

.

При этом мы воспользовались вторым условием теоремы, поскольку .

Таким образом, относительно компактное семейство образует -сеть для множества и по следствию к теореме Хаусдорфа относительно компактно и само множество . Теорема доказана.

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 1036. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

КОНСТРУКЦИЯ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ ВАГОНА Тип колёсной пары определяется типом оси и диаметром колес. Согласно ГОСТ 4835-2006* устанавливаются типы колесных пар для грузовых вагонов с осями РУ1Ш и РВ2Ш и колесами диаметром по кругу катания 957 мм. Номинальный диаметр колеса – 950 мм...

Философские школы эпохи эллинизма (неоплатонизм, эпикуреизм, стоицизм, скептицизм). Эпоха эллинизма со времени походов Александра Македонского, в результате которых была образована гигантская империя от Индии на востоке до Греции и Македонии на западе...

Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана...

Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия