Определение 12. Множество в метрическом пространстве называется равномерно ограниченным, если найдется постоянная такая, что для всех и .Это равносильно тому, что множество ограничено в метрическом пространстве . Определение 13. Множество в метрическом пространстве называется равностепенно непрерывным, если для любого существует такое такое, что для любых ,для которых и любой функции выполнено . Теорема 3 (Арцела-Асколи). Для того, чтобы множество было относительно компактным необходимо и достаточно, чтобы оно было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Доказательство. Необходимость. Пусть множество относительно компактно, тогда оно ограничено в пространстве , т.е. равномерно ограничено. Нужно проверить равностепенную непрерывность. Зададим и построим конечную - сеть . Функции , равномерно непрерывны на отрезке . Поэтому для каждой функции найдется так, чтобы при для любых выполнялось неравенство , . Положим . Тогда для любых , удовлетворяющих неравенству , и всех будем иметь неравенство . При выводе последнего неравенства мы учли то, что является - сеть для множества . Следовательно, доказали равностепенную непрерывность. Достаточность. Дано ограниченное и равностепенно непрерывное семейство . Необходимо доказать вполне ограниченность . Из ограниченности следует неравенство , , . Зададим и, используя равностепенную непрерывность, найдем так, чтобы при для всех . Затем построим сетку: разобьем отрезок точками на интервалы длины меньше , а отрезок - точками на интервалы длины меньше . Пусть - семейство непрерывных функций, принимающих в точках значения и линейных на отрезках . Это семейство конечно. Докажем, что семейство является - сетью для множества . По функции выберем функцию так, чтобы выполнялось неравенство . . Отсюда получим . Так как на отрезке функция линейна, то , . Наконец, возьмем произвольную точку из отрезка . Тогда найдется такое, что . Отсюда . Из полученного неравенства следует, что семейство является - сетью для множества . Теорема доказана.
3.4. Относительная компактность в пространствах и Теорема 4. Множество в метрическом пространстве , , относительно компактно тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) существует такое число , что для любых ; 2) для любого существует номер такой, что для всех выполнено неравенство . Необходимость. Условие 1) означает ограниченность множества в метрическом пространстве . Оно следует из относительной компактности. Докажем необходимость второго условия. Обозначим , . Тогда и имеет место соотношение . Очевидно, что , при . Далее, справедливо неравенство , . Возьмем и построим - сеть для множества : . Тогда для любого найдется такая, что . Применяя неравенство треугольника, найдем . Поскольку при , то найдется число такое, что при и всех . Тогда для всех . Достаточность. Для произвольного выберем так, чтобы , и зафиксируем . Каждому поставим в соответствие . Очевидно, что . Кроме того, можно показать, что множество является компактным. Следовательно, построена компактная - сеть для и по следствию к теореме Хаусдорфа, множество относительно компактно. Теорема доказана. Второй способ доказательства достаточности. Выше мы построили компактную - сеть для , а теперь построим конечную - сеть для . Выберем так, чтобы , . Возьмем , и рассмотрим конечное множество : . Докажем, что множество образует - сеть для . Для выберем , где - целая часть числа . Тогда . По теореме Хаусдорфа множество относительно компактно. Теорема доказана. В заключение приведем без доказательства критерий относительной компактности в пространстве . Теорема 5 (М.Рисс). Множество , , является относительно компактным тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) существует постоянная такая, что , ; 2) для любого существует такое, что при , . Доказательство. Пусть - относительно компактное множество в . Относительно компактное множество ограничено, поэтому 1) выполнено. Возьмем и построим конечную -сеть для множества . Поскольку каждая функция из непрерывна в среднем [4], то существует такое , что при верно неравенство , . Возьмем произвольную функцию и найдем такую функцию из - сети, чтобы . Тогда, если , то из неравенства треугольника получим . При этом выводе мы воспользовались тем, что функции и равны нулю вне отрезка . Тем самым проверено второе условие и необходимость доказана. Достаточность. Вначале выведем вспомогательные неравенства для функций Стеклова . Имеем , и Из условий теоремы 1) и 2) и этих неравенств следует, что при фиксированном функции семейства , когда равномерно ограничены и равностепенно непрерывны: и при . По теореме Арцела – Асколи любая последовательность этого семейства имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность. Эта подпоследовательность также сходится в , т. е. семейство относительно компактно в . С другой стороны . Отсюда . При этом мы воспользовались вторым условием теоремы, поскольку . Таким образом, относительно компактное семейство образует -сеть для множества и по следствию к теореме Хаусдорфа относительно компактно и само множество . Теорема доказана.
|