Студопедия — Точки прикосновения и предельные точки. Поскольку нормированные пространства в то же время являются метрическими, то все понятия метрических пространств переносятся на нормированные пространства
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Точки прикосновения и предельные точки. Поскольку нормированные пространства в то же время являются метрическими, то все понятия метрических пространств переносятся на нормированные пространства






Поскольку нормированные пространства в то же время являются метрическими, то все понятия метрических пространств переносятся на нормированные пространства. Здесь приведем определения открытых и замкнутых множеств и их свойства. Все предложения этого пункта, как правило, приводятся без доказательств, их можно найти в пособии [12].

Определение 4. Открытым шаром в нормированном пространстве с центром в точке и радиуса называется множество всех таких точек , что .

Замкнутым шаром называется множество всех таких точек , что .

Определение 5. Множество называется открытым в нормированном пространстве , если для любого найдется такое число , что верно включение .

Определение 6. Окрестностью точки называется любое открытое множество, содержащее .

Предложение 7. Открытый шар является открытым множеством.

Открытый шар является окрестностью каждой своей точки.

Предложение 8. Объединение любого числа открытых множеств открыто. Пересечение любого конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

Определение 7. Множество в метрическом пространстве называется замкнутым, если его дополнение открыто.

Предложение 9. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Определение 8. Точка называется точкой прикосновения множества , если каждая окрестность точки содержит хотя бы одну точку множества .

Определение 9. Точка называется предельной точкой множества , если каждая окрестность точки содержит хотя бы одну точку множества , отличную от точки .

Предложение 10. Множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои точки прикосновения.

Предложение11. Множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Определение 10. Множество всех точек прикосновения множества называется замыканием множества и обозначается символом .

Предложение 12. Имеет место соотношение .

Из этого предложения следует, что множество замкнуто.

Дадим еще одно важное определение.

Определение 11. Точка , принадлежащая ,называется изолированной точкой этого множества, если в некоторой ее окрестности нет точек из , отличных от .

Всякая точка прикосновения множества , как следует из определений, является либо предельной точкой для него, либо изолированной точкой этого множества. Отсюда следует, что замыкание множества состоит из точек трех типов:

1) изолированные точки ;

2) предельные точки множества , принадлежащие ;

3) предельные точки множества , не принадлежащие .

Следовательно, замыкание множества получается присоединением к всех его предельных точек.

Предложение 13. Точка нормированного пространства принадлежит замыканию множества тогда и только тогда, когда существует последовательность точек множества , сходящуюся к .

Доказательство. Пусть . Если при этом , то в качестве последовательности можно взять . Далее полагаем, что . Тогда точка является предельной точкой множества , ему не принадлежащей. Поэтому в каждом шаре , т.е. при любом , имеется хотя бы одна точка . В результате построили последовательность точек из множества , сходящаяся к точке .

Верно и обратное: если , , то . Действительно, если , то точка принадлежит открытому множеству . Поэтому найдется открытый шар с центром в точке , целиком лежащий во множестве , т.е. не имеющий общих точек с множеством . А это противоречит тому, что последовательность точек из множества сходится к . Предложение доказано.

Далее нам потребуется еще одно понятие.

Определение 12. Точка называется внутренней точкой множества , если существует ее окрестность . Точка называется внешней точкой , если существует шар , не содержащий точек из : .

Точка называется граничной точкой , если в любом шаре есть точки, принадлежащие и точки, не принадлежащие .

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 969. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Опухоли яичников в детском и подростковом возрасте Опухоли яичников занимают первое место в структуре опухолей половой системы у девочек и встречаются в возрасте 10 – 16 лет и в период полового созревания...

Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана...

Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

Дезинфекция предметов ухода, инструментов однократного и многократного использования   Дезинфекция изделий медицинского назначения проводится с целью уничтожения патогенных и условно-патогенных микроорганизмов - вирусов (в т...

Машины и механизмы для нарезки овощей В зависимости от назначения овощерезательные машины подразделяются на две группы: машины для нарезки сырых и вареных овощей...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия