Элементы квантовой механики

1. Петрик О.А. Стан та перспективи розвитку аудиту в Україні: методологічні та організаційні аспекти: Дис… д-ра економ. наук. Київський національний економічний університет. – К., 2004

2. Давидов Г.М, Формування теоретичних основ аудиту: Дис… д-ра економ. наук. Кіровоградський національний технічний ун-т. –К., 2007

3. Адамс Р. Основи аудиту - М.: Аудит; ЮНИТИ, 1995. – 398 с.

4. Аренс А., Лоббек Дж. Аудит - М.: Финансы и статистика,1995. – 558 с.

5. Робертсон Дж. Аудит - М.: КРМС: Контакт, 1993. – 496с.

6. Дорош Н.І. Аудит: теорія і практика. – К.: Знання, 2006. – 495с.

7. Гетокова Л.М., Скородумов В.А., Чепик Н.А. Аудит и сопутствующие услуги. – СПБ.: Узд-во СПБГНЄФ, 2010. – 208 с.

8. Гончарук Д.А.,Рудницький В.С. Аудит. – Київ.: Знання, 2007. – 443 с.

9. Соколов Я.В. Десять постулатов аудита // Бухгалтерский учёт. – 1993. - №11. – с.36-38

10. Шалімова Н.С. Причини виникнення та фундаментальні принципи аудиту з позиції моделі людини та проблеми конфлікту інтересів// Збірник наукових праць Кіровоградського національного технічного університету. – Вип.21, 2012р.

11. Козер Л. Функции социального конфликта. – М.: Идея – Пресс, 2000. – 128с.

12. Бабесов Е.М. Конфликтология. – Минск.: Право и экономика, 1997. – 360с.

13. Протасов В.Н. Правоотношения как система. – М.: Юридлит, 1991. – 342с.

14. Кудрявцев В.Н. Правовое поведение: норма и патология. – М.: Наука, 1980. – 231с.

15. Лень В.С., Нехай В.А. Облік і аудит. Вступ до фаху. – К.: Центр учбової літератури, 2009. – 256с.

16. Честнов И.Л. Методология и методика юридического иследования. – Спб, 2004. – 128с.

17. Міжнародні стандарти контролю якості, аудиту, огляду, іншого нодання

 

Элементы квантовой механики

Волновые свойства вещества. В результате развития представлений о природе света выяснился его двойственный характер (дуализм). Одни явления могут быть объяснены в предположении, согласно которому свет представляет собой поток частиц – фотонов (фотоэффект, эффект Комптона). Другие – в предположении, согласно которому свет является волной (интерференция, дифракция).

В 1924 г. Луи де Бройль, предполагая наличие в природе симметрии, выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью одного света, что он свойственен всей материи (электронам и любым другим частицам). Согласно де Бройлю, с каждой микрочастицей связывается, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p, а с другой стороны – волновые характеристики – частота w и волновой вектор k (). Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые характеристики, принимаются для частиц такими же, как для фотонов

, . (7)

Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. Дэвиссон и Джермер исследовали в 1927 г. отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе (рис). Рассеяние электронов проявляет отчет­ливый дифракционный характер. Положение дифракционных максимумов соответст­вовало формуле Вульфа-Брегга, если длину волны электрона вычислить согласно (7).

В дальнейшем идея де Бройля была подтверждена опытами Г. Томсона и П.С. Тартаковского. В опытах пучок электронов, ускоренный электрическим полем, проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Получен­ная таким образом картина сопоставлялась с полученной в аналогичных условиях рентгенограммой. В результате было установлено полное сходство двух картин.

Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, необходимо было доказать, что волновые свойства связаны с электроном, а не являются коллективным эффектом. Это экспериментально установил В.А. Фабрикант. Он показал, что и в случае слабого электрического пучка, когда каждый электрон прохо­дит прибор поодиночке, дифракционная картина при достаточной экспозиции ничем не отличается от картины, какая наблюдается при обычной интенсивности пучка.

Гипотеза де Бройля и ее экспериментальное подтверждение требует качественно нового взгляда на природу микрочастиц – микрочастицу нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании. Необычные свойства микрочастиц можно понять, если предположить, что вакуум является особым состоянием материи, а микрочастицы ее относительно неустойчивыми локальными состояниями. Неустойчивым в том смысле, что микрочастица регулярно растворяется в вакууме и через мгновенье вновь возникает где-то рядом. Аналогией вакууму может служить насыщенный раствор какого-либо вещества, а микрочастице имеющиеся в растворе кристаллики этого вещества. В состоянии динамического равновесия кристаллики в растворе хаотично растворяются и возникают. На характер растворения-возникновения микрочастицы влияет ее окружение. Несмотря на сложность и элемент случайности всего происходящего, поведение микрочастицы, как выяснится позже, можно успешно описать с помощью так называемой волновой функции.

Принцип неопределенности. В классической механике состояние материальной точки определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. Перечисленные величины называются динамическими переменными. Так как микрочастица не является частицей в классическом понимании, то ей, строго говоря, не могут быть приписаны указанные динамические переменные.

Данное обстоятельство проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Так, например, электрон не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса . Неопределенности значений x и удовлетворяют соотношению

. (8)
Соотношение, аналогичное (8), имеет место и для y и , для z и , а также для ряда других пар величин (называемых канонически сопряженными). Соотношение (8) и подобные ему называются соотношением неопределенностей Гейзенберга. Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей

. (9)
Это соотношение означает, что если время перехода системы из одного состояния в другое характеризуется временем D t, то неопределенность энергии системы равна . Процесс измерения энергии сопровождается изменением состояния. Поэтому, неопределенность результата измерения D E связана с длительностью измерения D t (т.е. временем перехода системы из одного состояния в другое) соотношением (9).

Соотношение неопределенностей вытекает из волновых свойств микрочастиц (строгий формальный расчет лежит вне рамок данного курса). Поясним его на следующем примере. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной D x, расположенную перпендикулярно к направлению их движения. При прохождении электронов за щелью наблюдается дифракционная картина, как в случае плоской световой волны. Основная доля электронов приходится на область центрального максимума.

До прохождения электроны двигались вдоль оси y, поэтому , а координата являлась совершенно неопределенной. Прохождение щели сопровождается изменением состояния электрона. В новом состоянии неопределенность положения по оси x задается шириной щели. Вследствие дифракции частица будет обладать импульсом, распределенным с близкими вероятностями в пределах угла 2j, где j – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Таким образом, появляется неопределенность

.
Первому минимуму при дифракции от щели соответствуют угол j, для которого

,
где l длина волны де Бройля. Отсюда с учетом (7) получается соотношение

согласующееся с (8).

Основные понятия квантовой механики. Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма стимулировали развитие квантовой теории, которое привело к созданию законченной теории.

Прежде всего, следует дать физическую интерпретацию волн де Бройля. С этой целью сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Дифракционная картина световых волн образуется в результате интерференции вторичных волн. В свете волновых представлений, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям корпускулярной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифрак­ционной картины. Если принять, что число фотонов в данном месте (а для одного фотона вероятность обнаружения) пропорционально квадрату светового вектора, то два способа описания становятся согласованными и дополняющими друг друга.

Дифракционная картина для микрочастиц имеет сходный вид с дифракционной картиной световых волн. Наличие максимумов с точки зрения волновой теории соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Интенсивность волн де Бройля коррелирует с числом частиц в данной точке пространства. Таким образом, напрашивается вероятностная, как для световых волн, трактовка волн де Бройля: вероятность обнаружения микрочастицы пропорциональна интенсивности волны де Бройля (квадрату модуля волновой функции).

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является принципиальным положением квантовой теории. Постулируется, что состояние квантовой системы может быть максимально полно описано с помощью волновой функции, в общем случае комплексной. В случае микрочастицы, не имеющей внутренних степеней свободы, эта функция имеет вид . Вероятность dP обнаружения микрочастицы в пределах объема dV

.
В квантовой механике принимается, что волновые функции, отличающиеся только множителем, описывают одно и то же состояние. Это обстоятельство позволяет ввести условие нормировки на пси-функцию

.
Для нормированной пси-функции квадрат ее модуля дает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства

.

По своему смыслу, волновая функция должна удовлетворять ряду так называемых стандартных условий. Она должна быть однозначной, непрерывной (вероятность не может изменяться скачком), конечной (требование условия нормировки). Подобные условия накладываются и на производные волновой функции.

Одним из основных положений квантовой механики является принцип суперпозиции состояний. Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями , , …, , то она также может находиться в состоянии

, (10)
где – произвольные комплексные числа.

Волновая функция Y содержит в себе полную информацию о микрообъекте. Поэтому, зная Y, можно вычислить вероятности значений, которые получаются при измерении какой-либо физической величины (а значит и их средние) в этом состоянии. Например, среднее значение координаты x вычисляется по формуле

. (11)

В квантовой механике принимается, что измерение физической величины q даст некоторое значение . Совокупность или спектр возможных значений называются собственными значениями величины q. Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в котором величина q всегда имеет определенное значение , через . Волновые функции называются собственными функциями данной величины q. Каждая из этих функций предполагается нормированной

.

Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией Y, то в соответствии с принципом суперпозиции, она должна представлять собой комбинацию собственных функций в виде (10). Утверждается, что квадраты модулей дают вероятности того, что при измерении будет получено соответствующее значение величины . Последовательно рассуждая, можно установить, что собственные функции взаимно ортогональны

.
Зная вероятности различных значений величины q, ее среднее значение в состоянии Y вычисляется по формуле

.

В квантовой механике вводится понятие оператора. Так называется матема­тическая операция, с помощью которой одной функции ставится в соответствие другая

,
где – символическое обозначение операции (оператора). Оператор физической величины определяется посредством соотношений

(для всех n),
где –собственное значение q. Свойство ортогональности собственных функций позволяет записать

.
Формула (11) является выражением такого типа. Можно доказать, что оператор является эрмитовым

.